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Resolver um problema
Integrais indefinidasCálculoFaculdade≈ 1:01

Calcular ∫ eˣ cos(x) dx

Uma aula animada passo a passo. Toque em Reproduzir para ver cada passo com legendas, ou leia os passos e a transcrição abaixo. Resposta: e^x·(cos(x) + sin(x)) / 2 + C.

Vídeo gravado: a voz e a escrita na imagem estão em inglês. Legendas: Português. Para narração neste idioma, abra a versão interativa.

Vídeo em inglês: Baixar MP4 (0.4 MB) · Legendas (WebVTT): Português · Legendas em inglês (WebVTT)

Passos na tela

  1. 1. O problema
    Exemplo resolvido
    ∫excos⁡(x) dx\int {e}^{x} \cos\left( x\right)\,dx
  2. 2. Passo a passo
    1. ∫excos⁡(x) dx\int {e}^{x} \cos\left( x\right)\,dx
      Partir da integral
    2. ∫eaxcos⁡bx dx=eax(acos⁡bx+bsin⁡bx)a2+b2\int e^{ax}\cos bx\,dx = \frac{e^{ax}(a\cos bx + b\sin bx)}{a^2+b^2}
      Integrar por partes duas vezes
    3. ∫excos⁡(x) dx=ex(cos⁡(x)+sin⁡(x))2\int {e}^{x} \cos\left( x\right)\,dx = \frac{{e}^{x} \left(\cos\left( x\right)+\sin\left( x\right)\right)}{2}
      Exponencial × trigonométrica (por partes duas vezes)
    4. ∫excos⁡(x) dx=ex(cos⁡(x)+sin⁡(x))2+C\int {e}^{x} \cos\left( x\right)\,dx = \frac{{e}^{x} \left(\cos\left( x\right)+\sin\left( x\right)\right)}{2} + C
      Simplificar e somar a constante de integração
  3. 3. A resposta
    ex(cos⁡(x)+sin⁡(x))2+C\frac{{e}^{x} \left(\cos\left( x\right)+\sin\left( x\right)\right)}{2} + C

    ∫ e^x cos(x) dx = e^x·(cos(x) + sin(x)) / 2 + C

  4. 4. Verificação
    • Resultado derivado e comparado com o integrando em 8 pontos de teste ✓

Transcrição

O problema. Aqui está o problema: a integral de e elevado a x cos(x) dx. Calcular a integral indefinida (primitiva) de e elevado a x cos(x) em relação a x.

Passo a passo. Partir da integral. Integrar por partes duas vezes. Integrar por partes duas vezes retorna a integral original I, então I igual a e^ ax (a cos bx mais b sin bx)/(a ao quadrado mais b ao quadrado) com um igual a 1, b igual a 1. Exponencial vezes trigonométrica (por partes duas vezes). Simplificar e somar a constante de integração.

A resposta. Portanto, a resposta é e elevado a x vezes (cos(x) mais sin(x)) / 2 mais C. Uma primitiva F satisfaz F linha de x igual a f(x). Como a derivada de qualquer constante vale 0, duas primitivas diferem por uma constante C.

Verificação. Resultado derivado e comparado com o integrando em 8 pontos de teste, o que confere.

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