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Resolver um problema
Sequências e sériesÁlgebraFaculdade≈ 1:59

Calcule a soma de 1/n de n=1 a ∞

Uma aula animada passo a passo. Toque em Reproduzir para ver cada passo com legendas, ou leia os passos e a transcrição abaixo. Resposta: A série diverge (teste de comparação no limite com Σ 1/n).

Vídeo gravado: a voz e a escrita na imagem estão em inglês. Legendas: Português. Para narração neste idioma, abra a versão interativa.

Vídeo em inglês: Baixar MP4 (0.7 MB) · Legendas (WebVTT): Português · Legendas em inglês (WebVTT)

Passos na tela

  1. 1. O problema
    Exemplo resolvido
    ∑n=1∞1n\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}
  2. 2. Passo a passo
    1. ∑n=1∞1n\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}
      Escrever a série
    2. lim⁡n→∞1n=0\lim_{n\to\infty} \frac{1}{n} = 0
      Teste do termo geral
    3. lim⁡n→∞an1/n=1\lim_{n\to\infty} \frac{a_n}{1/n} = 1
      Comparação no limite com uma série p
  3. 3. A resposta
    ∑n=1∞1n diverge\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n} \ \text{diverge}

    limit comparison with Σ 1/n ⇒ diverges

  4. 4. Verificação
    • Somas parciais (indício, não prova): S₁₀ = 2.9289683, S₁₀₀ = 5.1873775, S₁₀₀₀ = 7.4854709, S₁₀₀₀₀ = 9.787606

Transcrição

O problema. Aqui está o problema: Calcule a soma de 1/n de n igual a 1 a infinito. Decidir se Σ 1 / n (n de 1 a ∞) converge ou diverge.

Passo a passo. Escrever a série. Σ a(n) para n igual a 1, 2, 3, … com a(n) igual a 1 / n. Primeiros termos: 1, 0.5, 0.333333, 0.25, …. Teste do termo geral. lim a(n) igual a 0, então o teste da divergência é inconclusivo; os termos de fato diminuem, então é preciso um teste mais fino. Comparação no limite com uma série p. Termos positivos: os termos diminuem aproximadamente como 1/n (estimado a partir de a(2N)/a(N)), então compare com Σ 1/n: lim a(n) vezes n igual a 1. O limite é um número finito positivo, então a série se comporta exatamente como a p menos série Σ 1/n, que diverge porque p menor ou igual a 1.

A resposta. Portanto, a resposta é A série diverge (teste de comparação no limite com Σ 1/n). Uma série converge quando as suas somas parciais se aproximam de um número finito. Para isso, o termo geral precisa tender a 0, mas só isso não basta (a série harmônica diverge); por isso se decide com um teste da comparação, da razão, da raiz, das séries alternadas ou da integral.

Verificação. Somas parciais (indício, não prova): S₁₀ igual a 2.9289683, S₁₀₀ igual a 5.1873775, S₁₀₀₀ igual a 7.4854709, S₁₀₀₀₀ igual a 9.787606.

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