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Resolver um problema
Sequências e sériesÁlgebraFaculdade≈ 1:56

Calcule a soma de (-1)ⁿ/2ⁿ de n=0 a ∞

Uma aula animada passo a passo. Toque em Reproduzir para ver cada passo com legendas, ou leia os passos e a transcrição abaixo. Resposta: A série converge (série geométrica (|r| < 1)); soma = 2/3.

Vídeo gravado: a voz e a escrita na imagem estão em inglês. Legendas: Português. Para narração neste idioma, abra a versão interativa.

Vídeo em inglês: Baixar MP4 (0.7 MB) · Legendas (WebVTT): Português · Legendas em inglês (WebVTT)

Passos na tela

  1. 1. O problema
    Exemplo resolvido
    ∑n=0∞(−1)n2n\sum_{n=0}^{\infty} \frac{{\left(-1\right)}^{n}}{{2}^{n}}
  2. 2. Passo a passo
    1. ∑n=0∞(−1)n2n\sum_{n=0}^{\infty} \frac{{\left(-1\right)}^{n}}{{2}^{n}}
      Escrever a série
    2. S=a1−r=23S = \frac{a}{1-r} = \frac{2}{3}
      Reconhecer uma série geométrica
  3. 3. A resposta
    ∑n=0∞(−1)n2n converge=23\sum_{n=0}^{\infty} \frac{{\left(-1\right)}^{n}}{{2}^{n}} \ \text{converge} = \frac{2}{3}

    geometric series (|r| < 1) ⇒ converges, S = 2/3

  4. 4. Verificação
    • Somas parciais (indício, não prova): S₁₀ = 0.66601563, S₁₀₀ = 0.66666667, S₁₀₀₀ = 0.66666667, S₁₀₀₀₀ = 0.66666667

Transcrição

O problema. Aqui está o problema: Calcule a soma de (menos 1) elevado a n/2 elevado a n de n igual a 0 a infinito. Decidir se Σ (menos 1) elevado a n / 2 elevado a n (n de 0 a ∞) converge ou diverge.

Passo a passo. Escrever a série. Σ a(n) para n igual a 0, 1, 2, … com a(n) igual a (menos 1) elevado a n / 2 elevado a n. Primeiros termos: 1, menos 0.5, 0.25, menos 0.125, …. Reconhecer uma série geométrica. Cada termo é o anterior vezes r igual a menos 1 sobre 2 (conferido nos 40 primeiros termos), com primeiro termo a igual a 1. Como |r| menor que 1, a série converge e a sua soma é a/(1 menos r) igual a 2 sobre 3 aproximadamente 0.6666666667.

A resposta. Portanto, a resposta é A série converge (série geométrica (|r| menor que 1)); soma igual a 2 sobre 3. Uma série converge quando as suas somas parciais se aproximam de um número finito. Para isso, o termo geral precisa tender a 0, mas só isso não basta (a série harmônica diverge); por isso se decide com um teste da comparação, da razão, da raiz, das séries alternadas ou da integral.

Verificação. Somas parciais (indício, não prova): S₁₀ igual a 0.66601563, S₁₀₀ igual a 0.66666667, S₁₀₀₀ igual a 0.66666667, S₁₀₀₀₀ igual a 0.66666667.

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