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Resolver um problema
Sequências e sériesÁlgebraFaculdade≈ 2:39

Calcule a soma de 1/(n(n+2)) de n=1 a ∞

Uma aula animada passo a passo. Toque em Reproduzir para ver cada passo com legendas, ou leia os passos e a transcrição abaixo. Resposta: A série converge (teste de comparação no limite com Σ 1/n^2); soma ≈ 0.75 (corresponde a 3/4 com 10+ dígitos).

Vídeo gravado: a voz e a escrita na imagem estão em inglês. Legendas: Português. Para narração neste idioma, abra a versão interativa.

Vídeo em inglês: Baixar MP4 (1.0 MB) · Legendas (WebVTT): Português · Legendas em inglês (WebVTT)

Passos na tela

  1. 1. O problema
    Exemplo resolvido
    ∑n=1∞1n(n+2)\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n \left( n+2\right)}
  2. 2. Passo a passo
    1. ∑n=1∞1n(n+2)\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n \left( n+2\right)}
      Escrever a série
    2. lim⁡n→∞1n(n+2)=0\lim_{n\to\infty} \frac{1}{n \left( n+2\right)} = 0
      Teste do termo geral
    3. lim⁡n→∞an1/n2=1\lim_{n\to\infty} \frac{a_n}{1/n^{2}} = 1
      Comparação no limite com uma série p
    4. Estimar a soma numericamente
  3. 3. A resposta
    ∑n=1∞1n(n+2) converge≈0.75\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n \left( n+2\right)} \ \text{converge} \approx 0.75

    limit comparison with Σ 1/n^2 ⇒ converges, S ≈ 0.75 (matches 3/4 to 10+ digits)

  4. 4. Verificação
    • Somas parciais (indício, não prova): S₁₀ = 0.66287879, S₁₀₀ = 0.74014754, S₁₀₀₀ = 0.7490015, S₁₀₀₀₀ = 0.74990001

Transcrição

O problema. Aqui está o problema: Calcule a soma de 1/(n(n mais 2)) de n igual a 1 a infinito. Decidir se Σ 1 / (n(n mais 2)) (n de 1 até ∞) converge ou diverge.

Passo a passo. Escrever a série. Σ a(n) para n igual a 1, 2, 3, … com a(n) igual a 1 / (n(n mais 2)). Primeiros termos: 0.333333, 0.125, 0.0666667, 0.0416667, …. Teste do termo geral. lim a(n) igual a 0, então o teste da divergência é inconclusivo; os termos de fato diminuem, então é preciso um teste mais fino. Comparação no limite com uma série p. Termos positivos: os termos diminuem aproximadamente como 1/n ao quadrado (estimado a partir de a(2N)/a(N)), então se compara com Σ 1/n ao quadrado: lim a(n) vezes n ao quadrado igual a 1. O limite é um número positivo finito, então a série se comporta exatamente como a série p Σ 1/n ao quadrado, que converge porque p maior que 1. Estimar a soma numericamente. As somas parciais S N foram calculadas para vários N e extrapoladas para N → ∞ (extrapolação de Richardson; com termos alternados, faz-se primeiro a média). Duas extrapolações independentes concordam com erro menor que 10 elevado a menos 10, dando S aproximadamente 0.75. Qualquer forma fechada mostrada é uma identificação numérica, não uma prova.

A resposta. Portanto, a resposta é A série converge (teste de comparação no limite com Σ 1/n ao quadrado); soma aproximadamente 0.75 (corresponde a 3 sobre 4 com 10 mais dígitos). Uma série converge quando as suas somas parciais se aproximam de um número finito. Para isso, o termo geral precisa tender a 0, mas só isso não basta (a série harmônica diverge); por isso se decide com um teste da comparação, da razão, da raiz, das séries alternadas ou da integral.

Verificação. Somas parciais (indício, não prova): S₁₀ igual a 0.66287879, S₁₀₀ igual a 0.74014754, S₁₀₀₀ igual a 0.7490015, S₁₀₀₀₀ igual a 0.74990001.

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