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Resolver um problema
Sequências e sériesÁlgebraFaculdade≈ 2:00

Calcule a soma de n/2ⁿ de n=1 a ∞

Uma aula animada passo a passo. Toque em Reproduzir para ver cada passo com legendas, ou leia os passos e a transcrição abaixo. Resposta: A série converge (teste da razão); soma ≈ 2 (corresponde a 2 com 10+ dígitos).

Vídeo gravado: a voz e a escrita na imagem estão em inglês. Legendas: Português. Para narração neste idioma, abra a versão interativa.

Vídeo em inglês: Baixar MP4 (0.7 MB) · Legendas (WebVTT): Português · Legendas em inglês (WebVTT)

Passos na tela

  1. 1. O problema
    Exemplo resolvido
    ∑n=1∞n2n\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{{2}^{n}}
  2. 2. Passo a passo
    1. ∑n=1∞n2n\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{{2}^{n}}
      Escrever a série
    2. lim⁡n→∞n2n=0\lim_{n\to\infty} \frac{n}{{2}^{n}} = 0
      Teste do termo geral
    3. L=lim⁡n→∞n+12n=12L = \lim_{n\to\infty} \frac{\frac{n+1}{2}}{n} = \frac{1}{2}
      Teste da razão (d’Alembert)
    4. Estimar a soma numericamente
  3. 3. A resposta
    ∑n=1∞n2n converge≈2\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{{2}^{n}} \ \text{converge} \approx 2

    ratio test ⇒ converges, S ≈ 2 (matches 2 to 10+ digits)

  4. 4. Verificação
    • Somas parciais (indício, não prova): S₁₀ = 1.9882813, S₁₀₀ = 2, S₁₀₀₀ = 2, S₁₀₀₀₀ = 2

Transcrição

O problema. Aqui está o problema: Calcule a soma de n/2 elevado a n de n igual a 1 a infinito. Decidir se Σ n / 2 elevado a n (n de 1 a ∞) converge ou diverge.

Passo a passo. Escrever a série. Σ a(n) para n igual a 1, 2, 3, … com a(n) igual a n / 2 elevado a n. Primeiros termos: 0.5, 0.5, 0.375, 0.25, …. Teste do termo geral. lim a(n) igual a 0, então o teste da divergência é inconclusivo; os termos de fato diminuem, então é preciso um teste mais fino. Teste da razão (d’Alembert). Termos positivos: a(n mais 1)/a(n) se simplifica em (n mais 1) / 2 / n, e o seu limite quando n → ∞ é L igual a 1 sobre 2. L menor que 1, então a série converge (absolutamente). Estimar a soma numericamente. As somas parciais S N foram calculadas para vários N e extrapoladas para N → ∞ (extrapolação de Richardson; com termos alternados, faz-se primeiro a média). Duas extrapolações independentes concordam com erro menor que 10 elevado a menos 10, dando S aproximadamente 2. Qualquer forma fechada mostrada é uma identificação numérica, não uma prova.

A resposta. Portanto, a resposta é A série converge (teste da razão); soma aproximadamente 2 (corresponde a 2 com 10 mais dígitos). Uma série converge quando as suas somas parciais se aproximam de um número finito. Para isso, o termo geral precisa tender a 0, mas só isso não basta (a série harmônica diverge); por isso se decide com um teste da comparação, da razão, da raiz, das séries alternadas ou da integral.

Verificação. Somas parciais (indício, não prova): S₁₀ igual a 1.9882813, S₁₀₀ igual a 2, S₁₀₀₀ igual a 2, S₁₀₀₀₀ igual a 2.

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