Calcule a soma de 1/n² de n=1 a ∞

O problema. Aqui está o problema: Calcule a soma de 1/n ao quadrado de n igual a 1 a infinito. Decidir se Σ 1 / n ao quadrado (n de 1 a ∞) converge ou diverge.

Passo a passo. Escrever a série. Σ a(n) para n igual a 1, 2, 3, … com a(n) igual a 1 / n ao quadrado. Primeiros termos: 1, 0.25, 0.111111, 0.0625, …. Teste do termo geral. lim a(n) igual a 0, então o teste da divergência é inconclusivo; os termos de fato diminuem, então é preciso um teste mais fino. Comparação no limite com uma série p. Termos positivos: os termos diminuem aproximadamente como 1/n ao quadrado (estimado a partir de a(2N)/a(N)), então se compara com Σ 1/n ao quadrado: lim a(n) vezes n ao quadrado igual a 1. O limite é um número positivo finito, então a série se comporta exatamente como a série p Σ 1/n ao quadrado, que converge porque p maior que 1. Estimar a soma numericamente. As somas parciais S N foram calculadas para vários N e extrapoladas para N → ∞ (extrapolação de Richardson; com termos alternados, faz-se primeiro a média). Duas extrapolações independentes concordam com erro menor que 10 elevado a menos 10, dando S aproximadamente 1.644934067. Qualquer forma fechada mostrada é uma identificação numérica, não uma prova.

A resposta. Portanto, a resposta é A série converge (teste de comparação no limite com Σ 1/n ao quadrado); soma aproximadamente 1.644934067 (corresponde a pi ao quadrado/6 com 10 mais dígitos). Uma série converge quando as suas somas parciais se aproximam de um número finito. Para isso, o termo geral precisa tender a 0, mas só isso não basta (a série harmônica diverge); por isso se decide com um teste da comparação, da razão, da raiz, das séries alternadas ou da integral.

Verificação. Somas parciais (indício, não prova): S₁₀ igual a 1.5497677, S₁₀₀ igual a 1.6349839, S₁₀₀₀ igual a 1.6439346, S₁₀₀₀₀ igual a 1.6448341.