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Resolver um problema
Sequências e sériesÁlgebraFaculdade≈ 2:45

Calcule a soma de 1/(2n-1)(2n+1) de n=1 a ∞

Uma aula animada passo a passo. Toque em Reproduzir para ver cada passo com legendas, ou leia os passos e a transcrição abaixo. Resposta: A série converge (teste de comparação no limite com Σ 1/n^2); soma ≈ 0.5 (corresponde a 1/2 com 10+ dígitos).

Vídeo gravado: a voz e a escrita na imagem estão em inglês. Legendas: Português. Para narração neste idioma, abra a versão interativa.

Vídeo em inglês: Baixar MP4 (1.0 MB) · Legendas (WebVTT): Português · Legendas em inglês (WebVTT)

Passos na tela

  1. 1. O problema
    Exemplo resolvido
    ∑n=1∞1(2n−1)(2n+1)\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{\left(2n-1\right) \left(2n+1\right)}
  2. 2. Passo a passo
    1. ∑n=1∞1(2n−1)(2n+1)\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{\left(2n-1\right) \left(2n+1\right)}
      Escrever a série
    2. lim⁡n→∞1(2n−1)(2n+1)=0\lim_{n\to\infty} \frac{1}{\left(2n-1\right) \left(2n+1\right)} = 0
      Teste do termo geral
    3. lim⁡n→∞an1/n2=14\lim_{n\to\infty} \frac{a_n}{1/n^{2}} = \frac{1}{4}
      Comparação no limite com uma série p
    4. Estimar a soma numericamente
  3. 3. A resposta
    ∑n=1∞1(2n−1)(2n+1) converge≈0.5\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{\left(2n-1\right) \left(2n+1\right)} \ \text{converge} \approx 0.5

    limit comparison with Σ 1/n^2 ⇒ converges, S ≈ 0.5 (matches 1/2 to 10+ digits)

  4. 4. Verificação
    • Somas parciais (indício, não prova): S₁₀ = 0.47619048, S₁₀₀ = 0.49751244, S₁₀₀₀ = 0.49975012, S₁₀₀₀₀ = 0.499975

Transcrição

O problema. Aqui está o problema: Calcule a soma de 1/(2n menos 1)(2n mais 1) de n igual a 1 a infinito. Decidir se Σ 1 / (2 n menos 1) (2 n mais 1) (n de 1 a ∞) converge ou diverge.

Passo a passo. Escrever a série. Σ a(n) para n igual a 1, 2, 3, … com a(n) igual a 1 / (2 n menos 1) (2 n mais 1). Primeiros termos: 0.333333, 0.0666667, 0.0285714, 0.015873, …. Teste do termo geral. lim a(n) igual a 0, então o teste da divergência é inconclusivo; os termos de fato diminuem, então é preciso um teste mais fino. Comparação no limite com uma série p. Termos positivos: os termos diminuem aproximadamente como 1/n ao quadrado (estimado a partir de a(2N)/a(N)), então se compara com Σ 1/n ao quadrado: lim a(n) vezes n ao quadrado igual a 1 sobre 4. O limite é um número positivo finito, então a série se comporta exatamente como a série p Σ 1/n ao quadrado, que converge porque p maior que 1. Estimar a soma numericamente. As somas parciais S N foram calculadas para vários N e extrapoladas para N → ∞ (extrapolação de Richardson; com termos alternados, faz-se primeiro a média). Duas extrapolações independentes concordam com erro menor que 10 elevado a menos 10, dando S aproximadamente 0.5. Qualquer forma fechada mostrada é uma identificação numérica, não uma prova.

A resposta. Portanto, a resposta é A série converge (teste de comparação no limite com Σ 1/n ao quadrado); soma aproximadamente 0.5 (corresponde a 1 sobre 2 com 10 mais dígitos). Uma série converge quando as suas somas parciais se aproximam de um número finito. Para isso, o termo geral precisa tender a 0, mas só isso não basta (a série harmônica diverge); por isso se decide com um teste da comparação, da razão, da raiz, das séries alternadas ou da integral.

Verificação. Somas parciais (indício, não prova): S₁₀ igual a 0.47619048, S₁₀₀ igual a 0.49751244, S₁₀₀₀ igual a 0.49975012, S₁₀₀₀₀ igual a 0.499975.

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