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Resolver um problema
Sequências e sériesÁlgebraFaculdade≈ 2:47

Calcule a soma de 1/n⁴ de n=1 a ∞

Uma aula animada passo a passo. Toque em Reproduzir para ver cada passo com legendas, ou leia os passos e a transcrição abaixo. Resposta: A série converge (teste de comparação no limite com Σ 1/n^4); soma ≈ 1.082323234 (corresponde a π⁴/90 com 10+ dígitos).

Vídeo gravado: a voz e a escrita na imagem estão em inglês. Legendas: Português. Para narração neste idioma, abra a versão interativa.

Vídeo em inglês: Baixar MP4 (1.0 MB) · Legendas (WebVTT): Português · Legendas em inglês (WebVTT)

Passos na tela

  1. 1. O problema
    Exemplo resolvido
    ∑n=1∞1n4\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{{n}^{4}}
  2. 2. Passo a passo
    1. ∑n=1∞1n4\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{{n}^{4}}
      Escrever a série
    2. lim⁡n→∞1n4=0\lim_{n\to\infty} \frac{1}{{n}^{4}} = 0
      Teste do termo geral
    3. lim⁡n→∞an1/n4=1\lim_{n\to\infty} \frac{a_n}{1/n^{4}} = 1
      Comparação no limite com uma série p
    4. Estimar a soma numericamente
  3. 3. A resposta
    ∑n=1∞1n4 converge≈1.082323234\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{{n}^{4}} \ \text{converge} \approx 1.082323234

    limit comparison with Σ 1/n^4 ⇒ converges, S ≈ 1.082323234 (matches π⁴/90 to 10+ digits)

  4. 4. Verificação
    • Somas parciais (indício, não prova): S₁₀ = 1.0820366, S₁₀₀ = 1.0823229, S₁₀₀₀ = 1.0823232, S₁₀₀₀₀ = 1.0823232

Transcrição

O problema. Aqui está o problema: Calcule a soma de 1/n elevado a 4 de n igual a 1 a infinito. Decidir se Σ 1 / n elevado a 4 (n de 1 até ∞) converge ou diverge.

Passo a passo. Escrever a série. Σ a(n) para n igual a 1, 2, 3, … com a(n) igual a 1 / n elevado a 4. Primeiros termos: 1, 0.0625, 0.0123457, 0.00390625, …. Teste do termo geral. lim a(n) igual a 0, então o teste da divergência é inconclusivo; os termos de fato diminuem, então é preciso um teste mais fino. Comparação no limite com uma série p. Termos positivos: os termos diminuem aproximadamente como 1/n elevado a 4 (estimado a partir de a(2N)/a(N)), então se compara com Σ 1/n elevado a 4: lim a(n) vezes n elevado a 4 igual a 1. O limite é um número positivo finito, então a série se comporta exatamente como a série p Σ 1/n elevado a 4, que converge porque p maior que 1. Estimar a soma numericamente. As somas parciais S N foram calculadas para vários N e extrapoladas para N → ∞ (extrapolação de Richardson; com termos alternados, faz-se primeiro a média). Duas extrapolações independentes concordam com erro menor que 10 elevado a menos 10, dando S aproximadamente 1.082323234. Qualquer forma fechada mostrada é uma identificação numérica, não uma prova.

A resposta. Portanto, a resposta é A série converge (teste de comparação no limite com Σ 1/n elevado a 4; soma aproximadamente 1.082323234 (corresponde a pi elevado a 4 sobre 90 com 10 mais dígitos). Uma série converge quando as suas somas parciais se aproximam de um número finito. Para isso, o termo geral precisa tender a 0, mas só isso não basta (a série harmônica diverge); por isso se decide com um teste da comparação, da razão, da raiz, das séries alternadas ou da integral.

Verificação. Somas parciais (indício, não prova): S₁₀ igual a 1.0820366, S₁₀₀ igual a 1.0823229, S₁₀₀₀ igual a 1.0823232, S₁₀₀₀₀ igual a 1.0823232.

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