Sequências e sériesÁlgebraFaculdade≈ 3:06

Calcule a soma de (-1)ⁿ/n de n=1 a ∞

Uma aula animada passo a passo. Toque em Reproduzir para ver cada passo com legendas, ou leia os passos e a transcrição abaixo. Resposta: A série converge condicionalmente (teste da série alternada); soma ≈ -0.6931471806 (corresponde a −ln(2) com 10+ dígitos).

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Passos na tela

1. O problema
Exemplo resolvido
$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{{\left(-1\right)}^{n}}{n}$
2. Passos, parte 1
1. $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{{\left(-1\right)}^{n}}{n}$
  Escrever a série
2. $\lim_{n\to\infty} \frac{1}{n} = 0$
  Teste do termo geral
3. Teste das séries alternadas (Leibniz)
4. $\lim_{n\to\infty} \frac{a_n}{1/n} = 1$
  Comparação no limite com uma série p
3. Passos, parte 2
1. Absoluta ou condicional?
2. Estimar a soma numericamente
4. A resposta
$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{{\left(-1\right)}^{n}}{n} \ \text{converge condicionalmente} \approx -0.6931471806$
alternating series test ⇒ converges conditionally, S ≈ -0.6931471806 (matches −ln(2) to 10+ digits)
5. Verificação
- Somas parciais (indício, não prova): S₁₀ = -0.64563492, S₁₀₀ = -0.68817218, S₁₀₀₀ = -0.69264743, S₁₀₀₀₀ = -0.69309718

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O problema. Aqui está o problema: Calcule a soma de (menos 1) elevado a n/n de n igual a 1 a infinito. Decidir se Σ (menos 1) elevado a n / n (n de 1 a ∞) converge ou diverge.

Passos, parte 1. Escrever a série. Σ a(n) para n igual a 1, 2, 3, … com a(n) igual a (menos 1) elevado a n / n. Primeiros termos: menos 1, 0.5, menos 0.333333, 0.25, …. Teste do termo geral. lim |a(n)| igual a 0, então o teste da divergência é inconclusivo; os termos de fato diminuem, então é preciso um teste mais fino. Teste das séries alternadas (Leibniz). Os sinais se alternam e os valores absolutos b(n) igual a 1 / n decrescem (conferido em 310 índices até 10 elevado a 6) e tendem a 0, então a série converge. Comparação no limite com uma série p. Valores absolutos Σ 1 / n: os termos diminuem aproximadamente como 1/n (estimado a partir de a(2N)/a(N)), então se compara com Σ 1/n: lim a(n) vezes n igual a 1. O limite é um número positivo finito, então a série se comporta exatamente como a série p Σ 1/n, que diverge porque p menor ou igual a 1.

Passos, parte 2. Absoluta ou condicional?. Σ |a(n)| diverge (comparação no limite com Σ 1/n), então a série é apenas condicionalmente convergente. Estimar a soma numericamente. As somas parciais S N foram calculadas para vários N e extrapoladas para N → ∞ (extrapolação de Richardson; com termos alternados, faz-se primeiro a média). Duas extrapolações independentes concordam com erro menor que 10 elevado a menos 10, dando S aproximadamente menos 0.6931471806. Qualquer forma fechada mostrada é uma identificação numérica, não uma prova.

A resposta. Portanto, a resposta é A série converge condicionalmente (teste da série alternada); soma aproximadamente menos 0.6931471806 (corresponde a menos ln(2) com 10 mais dígitos). Uma série converge quando as suas somas parciais se aproximam de um número finito. Para isso, o termo geral precisa tender a 0, mas só isso não basta (a série harmônica diverge); por isso se decide com um teste da comparação, da razão, da raiz, das séries alternadas ou da integral.

Verificação. Somas parciais (indício, não prova): S₁₀ igual a menos 0.64563492, S₁₀₀ igual a menos 0.68817218, S₁₀₀₀ igual a menos 0.69264743, S₁₀₀₀₀ igual a menos 0.69309718.

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