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Resolver um problema
LimitesCálculoFaculdade≈ 2:18

Encontre lim x→0 (1-cos(3x))/x²

Uma aula animada passo a passo. Toque em Reproduzir para ver cada passo com legendas, ou leia os passos e a transcrição abaixo. Resposta: Limite = 9/2 ≈ 4.5.

Vídeo gravado: a voz e a escrita na imagem estão em inglês. Legendas: Português. Para narração neste idioma, abra a versão interativa.

Vídeo em inglês: Baixar MP4 (0.9 MB) · Legendas (WebVTT): Português · Legendas em inglês (WebVTT)

Passos na tela

  1. 1. O problema
    Exemplo resolvido
    lim⁡x→01−cos⁡(3x)x2\lim_{x \to 0} \frac{1-\cos\left(3x\right)}{{x}^{2}}
  2. 2. Passo a passo
    1. lim⁡x→01−cos⁡(3x)x2=lim⁡x→03sin⁡(3x)2x\lim_{x \to 0} \frac{1-\cos\left(3x\right)}{{x}^{2}} = \lim_{x \to 0} \frac{3\sin\left(3x\right)}{2x}
      Indeterminação 0/0 — aplicar a regra de L’Hôpital
    2. lim⁡x→03sin⁡(3x)2x=lim⁡x→09cos⁡(3x)2\lim_{x \to 0} \frac{3\sin\left(3x\right)}{2x} = \lim_{x \to 0} \frac{9\cos\left(3x\right)}{2}
      Indeterminação 0/0 — aplicar a regra de L’Hôpital
    3. lim⁡x→09cos⁡(3x)2=9cos⁡(3(0))2=92≈4.5\lim_{x \to 0} \frac{9\cos\left(3x\right)}{2} = \frac{9\cos\left(3\left(0\right)\right)}{2} = \frac{9}{2} \approx 4.5
      Substituição direta
  3. 3. A resposta
    lim⁡x→01−cos⁡(3x)x2=92≈4.5\lim_{x \to 0} \frac{1-\cos\left(3x\right)}{{x}^{2}} = \frac{9}{2} \approx 4.5

    lim x→0 (1 - cos(3x)) / x² = 9/2 ≈ 4.5

  4. 4. Verificação
    • Os valores numéricos pela direita concordam: f(0.01) = 4.4996625, f(0.001) = 4.4999966, f(0.0001) = 4.5, f(0.00001) = 4.5000004 ✓
    • Os valores numéricos pela esquerda concordam: f(-0.01) = 4.4996625, f(-0.001) = 4.4999966, f(-0.0001) = 4.5, f(-0.00001) = 4.5000004 ✓

Transcrição

O problema. Aqui está o problema: Encontre lim x- maior que 0 (1-cos(3x))/x ao quadrado. Calcular o limite de (1 menos cos(3x)) / x ao quadrado quando x → 0.

Passo a passo. Indeterminação 0 sobre 0 — aplicar a regra de L’Hôpital. Derivar o numerador e o denominador separadamente (isto não é a regra do quociente). Indeterminação 0 sobre 0 — aplicar a regra de L’Hôpital. Derivar o numerador e o denominador separadamente (isto não é a regra do quociente). Substituição direta. A expressão é contínua em x igual a 0, então o limite é igual ao seu valor nesse ponto.

A resposta. Portanto, a resposta é Limite igual a 9 sobre 2 aproximadamente 4.5. Um limite descreve o valor do qual uma função se aproxima, não necessariamente o valor que ela assume. Quando a substituição dá uma indeterminação, a expressão é reescrita (regra de L’Hôpital, conjugado ou logaritmos) até a substituição funcionar.

Verificação. Os valores numéricos pela direita concordam: f(0.01) igual a 4.4996625, f(0.001) igual a 4.4999966, f(0.0001) igual a 4.5, f(0.00001) igual a 4.5000004, o que confere. Os valores numéricos pela esquerda concordam: f(menos 0.01) igual a 4.4996625, f(menos 0.001) igual a 4.4999966, f(menos 0.0001) igual a 4.5, f(menos 0.00001) igual a 4.5000004, o que confere.

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