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Resolver um problema
LimitesCálculoFaculdade≈ 2:19

Encontre lim x→0 (1 - cos(2x))/x²

Uma aula animada passo a passo. Toque em Reproduzir para ver cada passo com legendas, ou leia os passos e a transcrição abaixo. Resposta: Limite = 2.

Vídeo gravado: a voz e a escrita na imagem estão em inglês. Legendas: Português. Para narração neste idioma, abra a versão interativa.

Vídeo em inglês: Baixar MP4 (0.9 MB) · Legendas (WebVTT): Português · Legendas em inglês (WebVTT)

Passos na tela

  1. 1. O problema
    Exemplo resolvido
    lim⁡x→01−cos⁡(2x)x2\lim_{x \to 0} \frac{1-\cos\left(2x\right)}{{x}^{2}}
  2. 2. Passos, parte 1
    1. lim⁡x→01−cos⁡(2x)x2=lim⁡x→02sin⁡(2x)2x\lim_{x \to 0} \frac{1-\cos\left(2x\right)}{{x}^{2}} = \lim_{x \to 0} \frac{2\sin\left(2x\right)}{2x}
      Indeterminação 0/0 — aplicar a regra de L’Hôpital
    2. lim⁡x→02sin⁡(2x)2x=lim⁡x→0sin⁡(2x)x\lim_{x \to 0} \frac{2\sin\left(2x\right)}{2x} = \lim_{x \to 0} \frac{\sin\left(2x\right)}{x}
      Simplificar
    3. lim⁡x→0sin⁡(2x)x=lim⁡x→02cos⁡(2x)1\lim_{x \to 0} \frac{\sin\left(2x\right)}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{2\cos\left(2x\right)}{1}
      Indeterminação 0/0 — aplicar a regra de L’Hôpital
    4. lim⁡x→02cos⁡(2x)1=lim⁡x→02cos⁡(2x)\lim_{x \to 0} \frac{2\cos\left(2x\right)}{1} = \lim_{x \to 0} 2\cos\left(2x\right)
      Simplificar
  3. 3. Passos, parte 2
    1. lim⁡x→02cos⁡(2x)=2cos⁡(2(0))=2\lim_{x \to 0} 2\cos\left(2x\right) = 2\cos\left(2\left(0\right)\right) = 2
      Substituição direta
  4. 4. A resposta
    lim⁡x→01−cos⁡(2x)x2=2\lim_{x \to 0} \frac{1-\cos\left(2x\right)}{{x}^{2}} = 2

    lim x→0 (1 - cos(2x)) / x² = 2

  5. 5. Verificação
    • Valores numéricos pela direita: f(0.01) = 1.9999333, f(0.001) = 1.9999993, f(0.0001) = 2, f(0.00001) = 2.0000002 (sem tendência clara nesta precisão)
    • Valores numéricos pela esquerda: f(-0.01) = 1.9999333, f(-0.001) = 1.9999993, f(-0.0001) = 2, f(-0.00001) = 2.0000002 (sem tendência clara nesta precisão)

Transcrição

O problema. Aqui está o problema: Encontre lim x- maior que 0 (1 menos cos(2x))/x ao quadrado. Calcular o limite de (1 menos cos(2x)) / x ao quadrado quando x → 0.

Passos, parte 1. Indeterminação 0 sobre 0 — aplicar a regra de L’Hôpital. Derivar o numerador e o denominador separadamente (isto não é a regra do quociente). Simplificar. Indeterminação 0 sobre 0 — aplicar a regra de L’Hôpital. Derivar o numerador e o denominador separadamente (isto não é a regra do quociente). Simplificar.

Passos, parte 2. Substituição direta. A expressão é contínua em x igual a 0, então o limite é igual ao seu valor nesse ponto.

A resposta. Portanto, a resposta é Limite igual a 2. Um limite descreve o valor do qual uma função se aproxima, não necessariamente o valor que ela assume. Quando a substituição dá uma indeterminação, a expressão é reescrita (regra de L’Hôpital, conjugado ou logaritmos) até a substituição funcionar.

Verificação. Valores numéricos pela direita: f(0.01) igual a 1.9999333, f(0.001) igual a 1.9999993, f(0.0001) igual a 2, f(0.00001) igual a 2.0000002 (sem tendência clara nesta precisão). Valores numéricos pela esquerda: f(menos 0.01) igual a 1.9999333, f(menos 0.001) igual a 1.9999993, f(menos 0.0001) igual a 2, f(menos 0.00001) igual a 2.0000002 (sem tendência clara nesta precisão).

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