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Resolver um problema
LimitesCálculoFaculdade≈ 2:11

Encontre lim x→0 (e^(3x)-1)/sin(x)

Uma aula animada passo a passo. Toque em Reproduzir para ver cada passo com legendas, ou leia os passos e a transcrição abaixo. Resposta: Limite = 3.

Vídeo gravado: a voz e a escrita na imagem estão em inglês. Legendas: Português. Para narração neste idioma, abra a versão interativa.

Vídeo em inglês: Baixar MP4 (0.8 MB) · Legendas (WebVTT): Português · Legendas em inglês (WebVTT)

Passos na tela

  1. 1. O problema
    Exemplo resolvido
    lim⁡x→0e3x−1sin⁡(x)\lim_{x \to 0} \frac{{e}^{3x}-1}{\sin\left( x\right)}
  2. 2. Passo a passo
    1. lim⁡x→0e3x−1sin⁡(x)=lim⁡x→03e3xcos⁡(x)\lim_{x \to 0} \frac{{e}^{3x}-1}{\sin\left( x\right)} = \lim_{x \to 0} \frac{3{e}^{3x}}{\cos\left( x\right)}
      Indeterminação 0/0 — aplicar a regra de L’Hôpital
    2. lim⁡x→03e3xcos⁡(x)=3e3(0)cos⁡(0)=3\lim_{x \to 0} \frac{3{e}^{3x}}{\cos\left( x\right)} = \frac{3{e}^{3\left(0\right)}}{\cos\left(0\right)} = 3
      Substituição direta
  3. 3. A resposta
    lim⁡x→0e3x−1sin⁡(x)=3\lim_{x \to 0} \frac{{e}^{3x}-1}{\sin\left( x\right)} = 3

    lim x→0 (e^(3x) - 1) / sin(x) = 3

  4. 4. Verificação
    • Os valores numéricos pela direita concordam: f(0.01) = 3.0455042, f(0.001) = 3.004505, f(0.0001) = 3.0004501, f(0.00001) = 3.000045 ✓
    • Os valores numéricos pela esquerda concordam: f(-0.01) = 2.9554959, f(-0.001) = 2.995505, f(-0.0001) = 2.99955, f(-0.00001) = 2.999955 ✓

Transcrição

O problema. Aqui está o problema: Encontre lim x- maior que 0 (e elevado a 3x menos 1)/sin(x). Calcular o limite de (e elevado a 3x menos 1) / sin(x) quando x → 0.

Passo a passo. Indeterminação 0 sobre 0 — aplicar a regra de L’Hôpital. Derivar o numerador e o denominador separadamente (isto não é a regra do quociente). Substituição direta. A expressão é contínua em x igual a 0, então o limite é igual ao seu valor nesse ponto.

A resposta. Portanto, a resposta é Limite igual a 3. Um limite descreve o valor do qual uma função se aproxima, não necessariamente o valor que ela assume. Quando a substituição dá uma indeterminação, a expressão é reescrita (regra de L’Hôpital, conjugado ou logaritmos) até a substituição funcionar.

Verificação. Os valores numéricos pela direita concordam: f(0.01) igual a 3.0455042, f(0.001) igual a 3.004505, f(0.0001) igual a 3.0004501, f(0.00001) igual a 3.000045, o que confere. Os valores numéricos pela esquerda concordam: f(menos 0.01) igual a 2.9554959, f(menos 0.001) igual a 2.995505, f(menos 0.0001) igual a 2.99955, f(menos 0.00001) igual a 2.999955, o que confere.

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