Pular para o conteúdo
MathSolver Pro
  • Abrir o resolvedor
  • Perguntar ao tutor IA
  • Encontrar um curso AP
  • Criar um quiz
  • Abrir a calculadora
  • Calculadora gráfica
  • Ver todas as calculadoras
  • Ler guias de matemática
↑ ↓Enter para abrir · Esc para fechar
Resolver um problema
LimitesCálculoFaculdade≈ 1:50

Encontre lim x→∞ x sin(1/x)

Uma aula animada passo a passo. Toque em Reproduzir para ver cada passo com legendas, ou leia os passos e a transcrição abaixo. Resposta: Limite = 1.

Vídeo gravado: a voz e a escrita na imagem estão em inglês. Legendas: Português. Para narração neste idioma, abra a versão interativa.

Vídeo em inglês: Baixar MP4 (0.6 MB) · Legendas (WebVTT): Português · Legendas em inglês (WebVTT)

Passos na tela

  1. 1. O problema
    Exemplo resolvido
    lim⁡x→∞xsin⁡(1x)\lim_{x \to \infty} x \sin\left(\frac{1}{x}\right)
  2. 2. Passo a passo
    1. lim⁡x→∞xsin⁡(1x)=lim⁡x→∞sin⁡(1x)1x\lim_{x \to \infty} x \sin\left(\frac{1}{x}\right) = \lim_{x \to \infty} \frac{\sin\left(\frac{1}{x}\right)}{\frac{1}{x}}
      Indeterminação 0·∞ — reescrever como quociente
    2. lim⁡x→∞sin⁡(1x)1x=lim⁡x→∞−cos⁡(1x)x2−1x2\lim_{x \to \infty} \frac{\sin\left(\frac{1}{x}\right)}{\frac{1}{x}} = \lim_{x \to \infty} \frac{-\frac{\cos\left(\frac{1}{x}\right)}{{x}^{2}}}{-\frac{1}{{x}^{2}}}
      Indeterminação 0/0 — aplicar a regra de L’Hôpital
    3. lim⁡x→∞−cos⁡(1x)x2−1x2=lim⁡x→∞cos⁡(1x)\lim_{x \to \infty} \frac{-\frac{\cos\left(\frac{1}{x}\right)}{{x}^{2}}}{-\frac{1}{{x}^{2}}} = \lim_{x \to \infty} \cos\left(\frac{1}{x}\right)
      Simplificar
    4. lim⁡x→∞cos⁡(1x)=lim⁡t→0cos⁡(t)=1\lim_{x \to \infty} \cos\left(\frac{1}{x}\right) = \lim_{t \to 0} \cos\left(\mathrm{t}\right) = 1
      Substituir x = 1/t (t → 0⁺)
  3. 3. A resposta
    lim⁡x→∞xsin⁡(1x)=1\lim_{x \to \infty} x \sin\left(\frac{1}{x}\right) = 1

    lim x→∞ x sin(1 / x) = 1

  4. 4. Verificação
    • Os valores numéricos quando x cresce concordam: f(127.18281) = 0.9999897, f(1271.8281) = 0.9999999, f(12718.281) = 1, f(127182.81) = 1 ✓

Transcrição

O problema. Aqui está o problema: Encontre lim x- maior que infinito x sin(1/x). Calcular o limite de x sin(1 / x) quando x → ∞.

Passo a passo. Indeterminação 0 vezes ∞ — reescrever como quociente. Passar um fator para o denominador como o seu inverso transforma 0 vezes ∞ em 0 sobre 0 ou ∞/∞. Indeterminação 0 sobre 0 — aplicar a regra de L’Hôpital. Derivar o numerador e o denominador separadamente (isto não é a regra do quociente). Simplificar. Substituir x igual a 1/t (t → 0 elevado a mais ).

A resposta. Portanto, a resposta é Limite igual a 1. Um limite descreve o valor do qual uma função se aproxima, não necessariamente o valor que ela assume. Quando a substituição dá uma indeterminação, a expressão é reescrita (regra de L’Hôpital, conjugado ou logaritmos) até a substituição funcionar.

Verificação. Os valores numéricos quando x cresce concordam: f(127.18281) igual a 0.9999897, f(1271.8281) igual a 0.9999999, f(12718.281) igual a 1, f(127182.81) igual a 1, o que confere.

Mais aulas como esta

Encontre lim x→∞ x sin(1/x): videoaula passo a passo