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Resolver um problema
LimitesCálculoFaculdade≈ 2:20

Encontre lim x→∞ (1+1/x)ˣ

Uma aula animada passo a passo. Toque em Reproduzir para ver cada passo com legendas, ou leia os passos e a transcrição abaixo. Resposta: Limite = e ≈ 2.718281828.

Vídeo gravado: a voz e a escrita na imagem estão em inglês. Legendas: Português. Para narração neste idioma, abra a versão interativa.

Vídeo em inglês: Baixar MP4 (0.8 MB) · Legendas (WebVTT): Português · Legendas em inglês (WebVTT)

Passos na tela

  1. 1. O problema
    Exemplo resolvido
    lim⁡x→∞(1+1x)x\lim_{x \to \infty} {\left(1+\frac{1}{x}\right)}^{x}
  2. 2. Passos, parte 1
    1. lim⁡x→∞(1+1x)x=e lim⁡x→∞[xln⁡(1+1x)]\lim_{x \to \infty} {\left(1+\frac{1}{x}\right)}^{x} = e^{\,\lim_{x \to \infty} \left[ x \ln\left(1+\frac{1}{x}\right)\right]}
      Indeterminação 1^∞ — aplicar logaritmos
    2. lim⁡x→∞xln⁡(1+1x)=lim⁡x→∞ln⁡(1+1x)1x\lim_{x \to \infty} x \ln\left(1+\frac{1}{x}\right) = \lim_{x \to \infty} \frac{\ln\left(1+\frac{1}{x}\right)}{\frac{1}{x}}
      Indeterminação 0·∞ — reescrever como quociente
    3. lim⁡x→∞ln⁡(1+1x)1x=lim⁡x→∞−1x21x+1−1x2\lim_{x \to \infty} \frac{\ln\left(1+\frac{1}{x}\right)}{\frac{1}{x}} = \lim_{x \to \infty} \frac{-\frac{\frac{1}{{x}^{2}}}{\frac{1}{x}+1}}{-\frac{1}{{x}^{2}}}
      Indeterminação 0/0 — aplicar a regra de L’Hôpital
    4. lim⁡x→∞−1x21x+1−1x2=lim⁡x→∞11x+1\lim_{x \to \infty} \frac{-\frac{\frac{1}{{x}^{2}}}{\frac{1}{x}+1}}{-\frac{1}{{x}^{2}}} = \lim_{x \to \infty} \frac{1}{\frac{1}{x}+1}
      Simplificar
  3. 3. Passos, parte 2
    1. lim⁡x→∞11x+1=lim⁡t→01t+1=1\lim_{x \to \infty} \frac{1}{\frac{1}{x}+1} = \lim_{t \to 0} \frac{1}{\mathrm{t}+1} = 1
      Substituir x = 1/t (t → 0⁺)
    2. lim⁡x→∞(1+1x)x=e1=e\lim_{x \to \infty} {\left(1+\frac{1}{x}\right)}^{x} = e^{1} = e
      Aplicar a exponencial ao resultado
  4. 4. A resposta
    lim⁡x→∞(1+1x)x=e≈2.718281828\lim_{x \to \infty} {\left(1+\frac{1}{x}\right)}^{x} = e \approx 2.718281828

    lim x→∞ (1 + 1 / x)^x = e ≈ 2.718281828

  5. 5. Verificação
    • Os valores numéricos quando x cresce concordam: f(127.18281) = 2.7076718, f(1271.8281) = 2.7172139, f(12718.281) = 2.718175, f(127182.81) = 2.7182711 ✓

Transcrição

O problema. Aqui está o problema: Encontre lim x- maior que infinito (1 mais 1/x) elevado a x. Calcular o limite de (1 mais 1 / x) elevado a x quando x → ∞.

Passos, parte 1. Indeterminação 1^∞ — aplicar logaritmos. Escrever a potência como e elevado a expoente vezes ln base); como eᵘ é contínua, o limite é e elevado ao limite do expoente. Indeterminação 0 vezes ∞ — reescrever como quociente. Passar um fator para o denominador como o seu inverso transforma 0 vezes ∞ em 0 sobre 0 ou ∞/∞. Indeterminação 0 sobre 0 — aplicar a regra de L’Hôpital. Derivar o numerador e o denominador separadamente (isto não é a regra do quociente). Simplificar.

Passos, parte 2. Substituir x igual a 1/t (t → 0 elevado a mais ). Aplicar a exponencial ao resultado.

A resposta. Portanto, a resposta é Limite igual a e aproximadamente 2.718281828. Um limite descreve o valor do qual uma função se aproxima, não necessariamente o valor que ela assume. Quando a substituição dá uma indeterminação, a expressão é reescrita (regra de L’Hôpital, conjugado ou logaritmos) até a substituição funcionar.

Verificação. Os valores numéricos quando x cresce concordam: f(127.18281) igual a 2.7076718, f(1271.8281) igual a 2.7172139, f(12718.281) igual a 2.718175, f(127182.81) igual a 2.7182711, o que confere.

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