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Resolver um problema
LimitesCálculoFaculdade≈ 2:29

Encontre lim x→0 (2ˣ - 1)/x

Uma aula animada passo a passo. Toque em Reproduzir para ver cada passo com legendas, ou leia os passos e a transcrição abaixo. Resposta: Limite = ln(2) ≈ 0.6931471806.

Vídeo gravado: a voz e a escrita na imagem estão em inglês. Legendas: Português. Para narração neste idioma, abra a versão interativa.

Vídeo em inglês: Baixar MP4 (0.9 MB) · Legendas (WebVTT): Português · Legendas em inglês (WebVTT)

Passos na tela

  1. 1. O problema
    Exemplo resolvido
    lim⁡x→02x−1x\lim_{x \to 0} \frac{{2}^{x}-1}{x}
  2. 2. Passo a passo
    1. lim⁡x→02x−1x=lim⁡x→02xln⁡(2)1\lim_{x \to 0} \frac{{2}^{x}-1}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{{2}^{x} \ln\left(2\right)}{1}
      Indeterminação 0/0 — aplicar a regra de L’Hôpital
    2. lim⁡x→02xln⁡(2)1=lim⁡x→02xln⁡(2)\lim_{x \to 0} \frac{{2}^{x} \ln\left(2\right)}{1} = \lim_{x \to 0} {2}^{x} \ln\left(2\right)
      Simplificar
    3. lim⁡x→02xln⁡(2)=20ln⁡(2)=ln⁡(2)≈0.6931471806\lim_{x \to 0} {2}^{x} \ln\left(2\right) = {2}^{0} \ln\left(2\right) = \ln\left(2\right) \approx 0.6931471806
      Substituição direta
  3. 3. A resposta
    lim⁡x→02x−1x=ln⁡(2)≈0.6931471806\lim_{x \to 0} \frac{{2}^{x}-1}{x} = \ln\left(2\right) \approx 0.6931471806

    lim x→0 (2^x - 1) / x = ln(2) ≈ 0.6931471806

  4. 4. Verificação
    • Os valores numéricos pela direita concordam: f(0.01) = 0.69555501, f(0.001) = 0.69338746, f(0.0001) = 0.6931712, f(0.00001) = 0.69314958 ✓
    • Os valores numéricos pela esquerda concordam: f(-0.01) = 0.69075046, f(-0.001) = 0.69290701, f(-0.0001) = 0.69312316, f(-0.00001) = 0.69314478 ✓

Transcrição

O problema. Aqui está o problema: Encontre lim x- maior que 0 (2 elevado a x menos 1)/x. Calcular o limite de (2 elevado a x menos 1) / x quando x → 0.

Passo a passo. Indeterminação 0 sobre 0 — aplicar a regra de L’Hôpital. Derivar o numerador e o denominador separadamente (isto não é a regra do quociente). Simplificar. Substituição direta. A expressão é contínua em x igual a 0, então o limite é igual ao seu valor nesse ponto.

A resposta. Portanto, a resposta é Limite igual a ln(2) aproximadamente 0.6931471806. Um limite descreve o valor do qual uma função se aproxima, não necessariamente o valor que ela assume. Quando a substituição dá uma indeterminação, a expressão é reescrita (regra de L’Hôpital, conjugado ou logaritmos) até a substituição funcionar.

Verificação. Os valores numéricos pela direita concordam: f(0.01) igual a 0.69555501, f(0.001) igual a 0.69338746, f(0.0001) igual a 0.6931712, f(0.00001) igual a 0.69314958, o que confere. Os valores numéricos pela esquerda concordam: f(menos 0.01) igual a 0.69075046, f(menos 0.001) igual a 0.69290701, f(menos 0.0001) igual a 0.69312316, f(menos 0.00001) igual a 0.69314478, o que confere.

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