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Resolver um problema
LimitesCálculoFaculdade≈ 2:09

Encontre lim x→∞ √(x²+x) - x

Uma aula animada passo a passo. Toque em Reproduzir para ver cada passo com legendas, ou leia os passos e a transcrição abaixo. Resposta: Limite = 1/2 ≈ 0.5.

Vídeo gravado: a voz e a escrita na imagem estão em inglês. Legendas: Português. Para narração neste idioma, abra a versão interativa.

Vídeo em inglês: Baixar MP4 (0.8 MB) · Legendas (WebVTT): Português · Legendas em inglês (WebVTT)

Passos na tela

  1. 1. O problema
    Exemplo resolvido
    lim⁡x→∞x2+x−x\lim_{x \to \infty} \sqrt{{x}^{2}+ x}- x
  2. 2. Passo a passo
    1. lim⁡x→∞x2+x−x=lim⁡x→∞x2+x2−x2x2+x+x\lim_{x \to \infty} \sqrt{{x}^{2}+ x}- x = \lim_{x \to \infty} \frac{{\sqrt{{x}^{2}+ x}}^{2}-{x}^{2}}{\sqrt{{x}^{2}+ x}+ x}
      Indeterminação ∞ − ∞ — reescrever
    2. lim⁡x→∞x2+x2−x2x2+x+x=lim⁡x→∞12x+12x2+x+1\lim_{x \to \infty} \frac{{\sqrt{{x}^{2}+ x}}^{2}-{x}^{2}}{\sqrt{{x}^{2}+ x}+ x} = \lim_{x \to \infty} \frac{1}{\frac{\frac{2x+1}{2}}{\sqrt{{x}^{2}+ x}}+1}
      Indeterminação ∞/∞ — aplicar a regra de L’Hôpital
    3. lim⁡x→∞12x+12x2+x+1=0.5\lim_{x \to \infty} \frac{1}{\frac{\frac{2x+1}{2}}{\sqrt{{x}^{2}+ x}}+1} = 0.5
      Avaliar o comportamento no limite
    4. lim⁡x→∞x2+x−x=12\lim_{x \to \infty} \sqrt{{x}^{2}+ x}- x = \frac{1}{2}
      Identificar o valor
  3. 3. A resposta
    lim⁡x→∞x2+x−x=12\lim_{x \to \infty} \sqrt{{x}^{2}+ x}- x = \frac{1}{2}

    lim x→∞ sqrt(x² + x) - x = 1/2 ≈ 0.5

  4. 4. Verificação
    • Os valores numéricos quando x cresce concordam: f(127.18281) = 0.49902101, f(1271.8281) = 0.49990175, f(12718.281) = 0.49999017, f(127182.81) = 0.49999902 ✓

Transcrição

O problema. Aqui está o problema: Encontre lim x- maior que infinito sqrt(x ao quadrado mais x) menos x. Calcular o limite de sqrt(x ao quadrado mais x) menos x quando x → ∞.

Passo a passo. Indeterminação ∞ menos ∞ — reescrever. Multiplicar pelo conjugado: (u menos v)(u mais v)/(u mais v) igual a (u ao quadrado menos v ao quadrado)/(u mais v). Indeterminação ∞/∞ — aplicar a regra de L’Hôpital. Derivar o numerador e o denominador separadamente (isto não é a regra do quociente). Avaliar o comportamento no limite. O comportamento dominante de cada parte determina o limite. Identificar o valor. A expressão reescrita estabiliza em 0.5, que é igual a 1 sobre 2 dentro de 10 elevado a menos 6; os valores numéricos convergentes abaixo confirmam isso.

A resposta. Portanto, a resposta é Limite igual a 1 sobre 2 aproximadamente 0.5. Um limite descreve o valor do qual uma função se aproxima, não necessariamente o valor que ela assume. Quando a substituição dá uma indeterminação, a expressão é reescrita (regra de L’Hôpital, conjugado ou logaritmos) até a substituição funcionar.

Verificação. Os valores numéricos quando x cresce concordam: f(127.18281) igual a 0.49902101, f(1271.8281) igual a 0.49990175, f(12718.281) igual a 0.49999017, f(127182.81) igual a 0.49999902, o que confere.

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