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Resolver um problema
LimitesCálculoFaculdade≈ 1:54

Encontre lim x→0 sin(3x)/x

Uma aula animada passo a passo. Toque em Reproduzir para ver cada passo com legendas, ou leia os passos e a transcrição abaixo. Resposta: Limite = 3.

Vídeo gravado: a voz e a escrita na imagem estão em inglês. Legendas: Português. Para narração neste idioma, abra a versão interativa.

Vídeo em inglês: Baixar MP4 (0.7 MB) · Legendas (WebVTT): Português · Legendas em inglês (WebVTT)

Passos na tela

  1. 1. O problema
    Exemplo resolvido
    lim⁡x→0sin⁡(3x)x\lim_{x \to 0} \frac{\sin\left(3x\right)}{x}
  2. 2. Passo a passo
    1. lim⁡x→0sin⁡(3x)x=lim⁡x→03cos⁡(3x)1\lim_{x \to 0} \frac{\sin\left(3x\right)}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{3\cos\left(3x\right)}{1}
      Indeterminação 0/0 — aplicar a regra de L’Hôpital
    2. lim⁡x→03cos⁡(3x)1=lim⁡x→03cos⁡(3x)\lim_{x \to 0} \frac{3\cos\left(3x\right)}{1} = \lim_{x \to 0} 3\cos\left(3x\right)
      Simplificar
    3. lim⁡x→03cos⁡(3x)=3cos⁡(3(0))=3\lim_{x \to 0} 3\cos\left(3x\right) = 3\cos\left(3\left(0\right)\right) = 3
      Substituição direta
  3. 3. A resposta
    lim⁡x→0sin⁡(3x)x=3\lim_{x \to 0} \frac{\sin\left(3x\right)}{x} = 3

    lim x→0 sin(3 x) / x = 3

  4. 4. Verificação
    • Os valores numéricos pela direita concordam: f(0.01) = 2.99955, f(0.001) = 2.9999955, f(0.0001) = 3, f(0.00001) = 3 ✓
    • Os valores numéricos pela esquerda concordam: f(-0.01) = 2.99955, f(-0.001) = 2.9999955, f(-0.0001) = 3, f(-0.00001) = 3 ✓

Transcrição

O problema. Aqui está o problema: Encontre lim x- maior que 0 sin(3x)/x. Calcular o limite de sin(3 x) / x quando x → 0.

Passo a passo. Indeterminação 0 sobre 0 — aplicar a regra de L’Hôpital. Derivar o numerador e o denominador separadamente (isto não é a regra do quociente). Simplificar. Substituição direta. A expressão é contínua em x igual a 0, então o limite é igual ao seu valor nesse ponto.

A resposta. Portanto, a resposta é Limite igual a 3. Um limite descreve o valor do qual uma função se aproxima, não necessariamente o valor que ela assume. Quando a substituição dá uma indeterminação, a expressão é reescrita (regra de L’Hôpital, conjugado ou logaritmos) até a substituição funcionar.

Verificação. Os valores numéricos pela direita concordam: f(0.01) igual a 2.99955, f(0.001) igual a 2.9999955, f(0.0001) igual a 3, f(0.00001) igual a 3, o que confere. Os valores numéricos pela esquerda concordam: f(menos 0.01) igual a 2.99955, f(menos 0.001) igual a 2.9999955, f(menos 0.0001) igual a 3, f(menos 0.00001) igual a 3, o que confere.

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