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Resolver um problema
LimitesCálculoFaculdade≈ 2:09

Encontre lim x→0 (e^(4x)-1)/sin(x)

Uma aula animada passo a passo. Toque em Reproduzir para ver cada passo com legendas, ou leia os passos e a transcrição abaixo. Resposta: Limite = 4.

Vídeo gravado: a voz e a escrita na imagem estão em inglês. Legendas: Português. Para narração neste idioma, abra a versão interativa.

Vídeo em inglês: Baixar MP4 (0.8 MB) · Legendas (WebVTT): Português · Legendas em inglês (WebVTT)

Passos na tela

  1. 1. O problema
    Exemplo resolvido
    lim⁡x→0e4x−1sin⁡(x)\lim_{x \to 0} \frac{{e}^{4x}-1}{\sin\left( x\right)}
  2. 2. Passo a passo
    1. lim⁡x→0e4x−1sin⁡(x)=lim⁡x→04e4xcos⁡(x)\lim_{x \to 0} \frac{{e}^{4x}-1}{\sin\left( x\right)} = \lim_{x \to 0} \frac{4{e}^{4x}}{\cos\left( x\right)}
      Indeterminação 0/0 — aplicar a regra de L’Hôpital
    2. lim⁡x→04e4xcos⁡(x)=4e4(0)cos⁡(0)=4\lim_{x \to 0} \frac{4{e}^{4x}}{\cos\left( x\right)} = \frac{4{e}^{4\left(0\right)}}{\cos\left(0\right)} = 4
      Substituição direta
  3. 3. A resposta
    lim⁡x→0e4x−1sin⁡(x)=4\lim_{x \to 0} \frac{{e}^{4x}-1}{\sin\left( x\right)} = 4

    lim x→0 (e^(4x) - 1) / sin(x) = 4

  4. 4. Verificação
    • Valores numéricos pela direita: f(0.01) = 4.0811454, f(0.001) = 4.0080113, f(0.0001) = 4.0008001, f(0.00001) = 4.00008 (sem tendência clara nesta precisão)
    • Valores numéricos pela esquerda: f(-0.01) = 3.9211214, f(-0.001) = 3.9920113, f(-0.0001) = 3.9992001, f(-0.00001) = 3.99992 (sem tendência clara nesta precisão)

Transcrição

O problema. Aqui está o problema: Encontre lim x- maior que 0 (e elevado a 4x menos 1)/sin(x). Calcular o limite de (e elevado a 4x menos 1) / sin(x) quando x → 0.

Passo a passo. Indeterminação 0 sobre 0 — aplicar a regra de L’Hôpital. Derivar o numerador e o denominador separadamente (isto não é a regra do quociente). Substituição direta. A expressão é contínua em x igual a 0, então o limite é igual ao seu valor nesse ponto.

A resposta. Portanto, a resposta é Limite igual a 4. Um limite descreve o valor do qual uma função se aproxima, não necessariamente o valor que ela assume. Quando a substituição dá uma indeterminação, a expressão é reescrita (regra de L’Hôpital, conjugado ou logaritmos) até a substituição funcionar.

Verificação. Valores numéricos pela direita: f(0.01) igual a 4.0811454, f(0.001) igual a 4.0080113, f(0.0001) igual a 4.0008001, f(0.00001) igual a 4.00008 (sem tendência clara nesta precisão). Valores numéricos pela esquerda: f(menos 0.01) igual a 3.9211214, f(menos 0.001) igual a 3.9920113, f(menos 0.0001) igual a 3.9992001, f(menos 0.00001) igual a 3.99992 (sem tendência clara nesta precisão).

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