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Resolver um problema
LimitesCálculoFaculdade≈ 2:13

Encontre lim x→0 x ln(x)

Uma aula animada passo a passo. Toque em Reproduzir para ver cada passo com legendas, ou leia os passos e a transcrição abaixo. Resposta: Limite = 0.

Vídeo gravado: a voz e a escrita na imagem estão em inglês. Legendas: Português. Para narração neste idioma, abra a versão interativa.

Vídeo em inglês: Baixar MP4 (0.9 MB) · Legendas (WebVTT): Português · Legendas em inglês (WebVTT)

Passos na tela

  1. 1. O problema
    Exemplo resolvido
    lim⁡x→0xln⁡(x)\lim_{x \to 0} x \ln\left( x\right)
  2. 2. Passo a passo
    1. lim⁡x→0xln⁡(x)=lim⁡x→0ln⁡(x)1x\lim_{x \to 0} x \ln\left( x\right) = \lim_{x \to 0} \frac{\ln\left( x\right)}{\frac{1}{x}}
      Indeterminação 0·∞ — reescrever como quociente
    2. lim⁡x→0ln⁡(x)1x=lim⁡x→01x−1x2\lim_{x \to 0} \frac{\ln\left( x\right)}{\frac{1}{x}} = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{x}}{-\frac{1}{{x}^{2}}}
      Indeterminação ∞/∞ — aplicar a regra de L’Hôpital
    3. lim⁡x→01x−1x2=lim⁡x→0−x\lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{x}}{-\frac{1}{{x}^{2}}} = \lim_{x \to 0} - x
      Simplificar
    4. lim⁡x→0−x=−0=0\lim_{x \to 0} - x = -0 = 0
      Substituição direta
  3. 3. A resposta
    lim⁡x→0xln⁡(x)=0\lim_{x \to 0} x \ln\left( x\right) = 0

    lim x→0 x ln(x) = 0

  4. 4. Verificação
    • Valores numéricos pela direita: f(0.01) = -0.046051702, f(0.001) = -0.0069077553, f(0.0001) = -0.00092103404, f(0.00001) = -0.00011512925 (sem tendência clara nesta precisão)
    • Valores numéricos pela esquerda: f(-0.01) = indefinido, f(-0.001) = indefinido, f(-0.0001) = indefinido, f(-0.00001) = indefinido (sem tendência clara nesta precisão)

Transcrição

O problema. Aqui está o problema: Encontre lim x- maior que 0 x ln(x). Calcular o limite de x ln(x) quando x → 0.

Passo a passo. Indeterminação 0 vezes ∞ — reescrever como quociente. Passar um fator para o denominador como o seu inverso transforma 0 vezes ∞ em 0 sobre 0 ou ∞/∞. Indeterminação ∞/∞ — aplicar a regra de L’Hôpital. Derivar o numerador e o denominador separadamente (isto não é a regra do quociente). Simplificar. Substituição direta. A expressão é contínua em x igual a 0, então o limite é igual ao seu valor nesse ponto.

A resposta. Portanto, a resposta é Limite igual a 0. Um limite descreve o valor do qual uma função se aproxima, não necessariamente o valor que ela assume. Quando a substituição dá uma indeterminação, a expressão é reescrita (regra de L’Hôpital, conjugado ou logaritmos) até a substituição funcionar.

Verificação. Valores numéricos pela direita: f(0.01) igual a menos 0.046051702, f(0.001) igual a menos 0.0069077553, f(0.0001) igual a menos 0.00092103404, f(0.00001) igual a menos 0.00011512925 (sem tendência clara nesta precisão). Valores numéricos pela esquerda: f(menos 0.01) igual a indefinido, f(menos 0.001) igual a indefinido, f(menos 0.0001) igual a indefinido, f(menos 0.00001) igual a indefinido (sem tendência clara nesta precisão).

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