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Resolver um problema
LimitesCálculoFaculdade≈ 1:50

Encontre lim x→∞ ln(x)/x

Uma aula animada passo a passo. Toque em Reproduzir para ver cada passo com legendas, ou leia os passos e a transcrição abaixo. Resposta: Limite = 0.

Vídeo gravado: a voz e a escrita na imagem estão em inglês. Legendas: Português. Para narração neste idioma, abra a versão interativa.

Vídeo em inglês: Baixar MP4 (0.6 MB) · Legendas (WebVTT): Português · Legendas em inglês (WebVTT)

Passos na tela

  1. 1. O problema
    Exemplo resolvido
    lim⁡x→∞ln⁡(x)x\lim_{x \to \infty} \frac{\ln\left( x\right)}{x}
  2. 2. Passo a passo
    1. lim⁡x→∞ln⁡(x)x=lim⁡x→∞1x1\lim_{x \to \infty} \frac{\ln\left( x\right)}{x} = \lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{1}
      Indeterminação ∞/∞ — aplicar a regra de L’Hôpital
    2. lim⁡x→∞1x1=lim⁡x→∞1x\lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{1} = \lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}
      Simplificar
    3. lim⁡x→∞1x=0\lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} = 0
      Numerador limitado sobre um denominador ilimitado
  3. 3. A resposta
    lim⁡x→∞ln⁡(x)x=0\lim_{x \to \infty} \frac{\ln\left( x\right)}{x} = 0

    lim x→∞ ln(x) / x = 0

  4. 4. Verificação
    • Os valores numéricos quando x cresce concordam: f(127.18281) = 0.038099689, f(1271.8281) = 0.005620422, f(12718.281) = 0.0007430875, f(127182.81) = 0.000092413281 ✓

Transcrição

O problema. Aqui está o problema: Encontre lim x- maior que infinito ln(x)/x. Calcular o limite de ln(x) / x quando x → ∞.

Passo a passo. Indeterminação ∞/∞ — aplicar a regra de L’Hôpital. Derivar o numerador e o denominador separadamente (isto não é a regra do quociente). Simplificar. Numerador limitado sobre um denominador ilimitado. O numerador se aproxima de 1 e o denominador cresce sem limite, então o quociente se aproxima de 0.

A resposta. Portanto, a resposta é Limite igual a 0. Um limite descreve o valor do qual uma função se aproxima, não necessariamente o valor que ela assume. Quando a substituição dá uma indeterminação, a expressão é reescrita (regra de L’Hôpital, conjugado ou logaritmos) até a substituição funcionar.

Verificação. Os valores numéricos quando x cresce concordam: f(127.18281) igual a 0.038099689, f(1271.8281) igual a 0.005620422, f(12718.281) igual a 0.0007430875, f(127182.81) igual a 0.000092413281, o que confere.

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