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Resolver um problema
LimitesCálculoFaculdade≈ 2:54

Encontre lim x→0 (1 + x)^(1/x)

Uma aula animada passo a passo. Toque em Reproduzir para ver cada passo com legendas, ou leia os passos e a transcrição abaixo. Resposta: Limite = e ≈ 2.718281828.

Vídeo gravado: a voz e a escrita na imagem estão em inglês. Legendas: Português. Para narração neste idioma, abra a versão interativa.

Vídeo em inglês: Baixar MP4 (1.1 MB) · Legendas (WebVTT): Português · Legendas em inglês (WebVTT)

Passos na tela

  1. 1. O problema
    Exemplo resolvido
    lim⁡x→0(1+x)1x\lim_{x \to 0} {\left(1+ x\right)}^{\frac{1}{x}}
  2. 2. Passos, parte 1
    1. lim⁡x→0(1+x)1x=e lim⁡x→0[1xln⁡(1+x)]\lim_{x \to 0} {\left(1+ x\right)}^{\frac{1}{x}} = e^{\,\lim_{x \to 0} \left[\frac{1}{x} \ln\left(1+ x\right)\right]}
      Indeterminação 1^∞ — aplicar logaritmos
    2. lim⁡x→01xln⁡(1+x)=lim⁡x→0ln⁡(x+1)x\lim_{x \to 0} \frac{1}{x} \ln\left(1+ x\right) = \lim_{x \to 0} \frac{\ln\left( x+1\right)}{x}
      Indeterminação 0·∞ — reescrever como quociente
    3. lim⁡x→0ln⁡(x+1)x=lim⁡x→01x+11\lim_{x \to 0} \frac{\ln\left( x+1\right)}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{x+1}}{1}
      Indeterminação 0/0 — aplicar a regra de L’Hôpital
    4. lim⁡x→01x+11=lim⁡x→01x+1\lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{x+1}}{1} = \lim_{x \to 0} \frac{1}{x+1}
      Simplificar
  3. 3. Passos, parte 2
    1. lim⁡x→01x+1=10+1=1\lim_{x \to 0} \frac{1}{x+1} = \frac{1}{0+1} = 1
      Substituição direta
    2. lim⁡x→0(1+x)1x=e1=e\lim_{x \to 0} {\left(1+ x\right)}^{\frac{1}{x}} = e^{1} = e
      Aplicar a exponencial ao resultado
  4. 4. A resposta
    lim⁡x→0(1+x)1x=e≈2.718281828\lim_{x \to 0} {\left(1+ x\right)}^{\frac{1}{x}} = e \approx 2.718281828

    lim x→0 (1 + x)^(1 / x) = e ≈ 2.718281828

  5. 5. Verificação
    • Os valores numéricos pela direita concordam: f(0.01) = 2.7048138, f(0.001) = 2.7169239, f(0.0001) = 2.7181459, f(0.00001) = 2.7182682 ✓
    • Os valores numéricos pela esquerda concordam: f(-0.01) = 2.731999, f(-0.001) = 2.7196422, f(-0.0001) = 2.7184178, f(-0.00001) = 2.7182954 ✓

Transcrição

O problema. Aqui está o problema: Encontre lim x- maior que 0 (1 mais x) elevado a 1/x). Calcular o limite de (1 mais x) elevado a 1 / x) quando x → 0.

Passos, parte 1. Indeterminação 1^∞ — aplicar logaritmos. Escrever a potência como e elevado a expoente vezes ln base); como eᵘ é contínua, o limite é e elevado ao limite do expoente. Indeterminação 0 vezes ∞ — reescrever como quociente. Passar um fator para o denominador como o seu inverso transforma 0 vezes ∞ em 0 sobre 0 ou ∞/∞. Indeterminação 0 sobre 0 — aplicar a regra de L’Hôpital. Derivar o numerador e o denominador separadamente (isto não é a regra do quociente). Simplificar.

Passos, parte 2. Substituição direta. A expressão é contínua em x igual a 0, então o limite é igual ao seu valor nesse ponto. Aplicar a exponencial ao resultado.

A resposta. Portanto, a resposta é Limite igual a e aproximadamente 2.718281828. Um limite descreve o valor do qual uma função se aproxima, não necessariamente o valor que ela assume. Quando a substituição dá uma indeterminação, a expressão é reescrita (regra de L’Hôpital, conjugado ou logaritmos) até a substituição funcionar.

Verificação. Os valores numéricos pela direita concordam: f(0.01) igual a 2.7048138, f(0.001) igual a 2.7169239, f(0.0001) igual a 2.7181459, f(0.00001) igual a 2.7182682, o que confere. Os valores numéricos pela esquerda concordam: f(menos 0.01) igual a 2.731999, f(menos 0.001) igual a 2.7196422, f(menos 0.0001) igual a 2.7184178, f(menos 0.00001) igual a 2.7182954, o que confere.

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