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Resolver um problema
LimitesCálculoFaculdade≈ 2:54

Encontre lim x→0 (sin(x) - x)/x³

Uma aula animada passo a passo. Toque em Reproduzir para ver cada passo com legendas, ou leia os passos e a transcrição abaixo. Resposta: Limite = -(1/6) ≈ -0.1666666667.

Vídeo gravado: a voz e a escrita na imagem estão em inglês. Legendas: Português. Para narração neste idioma, abra a versão interativa.

Vídeo em inglês: Baixar MP4 (1.2 MB) · Legendas (WebVTT): Português · Legendas em inglês (WebVTT)

Passos na tela

  1. 1. O problema
    Exemplo resolvido
    lim⁡x→0sin⁡(x)−xx3\lim_{x \to 0} \frac{\sin\left( x\right)- x}{{x}^{3}}
  2. 2. Passo a passo
    1. lim⁡x→0sin⁡(x)−xx3=lim⁡x→0cos⁡(x)−13x2\lim_{x \to 0} \frac{\sin\left( x\right)- x}{{x}^{3}} = \lim_{x \to 0} \frac{\cos\left( x\right)-1}{3{x}^{2}}
      Indeterminação 0/0 — aplicar a regra de L’Hôpital
    2. lim⁡x→0cos⁡(x)−13x2=lim⁡x→0−sin⁡(x)6x\lim_{x \to 0} \frac{\cos\left( x\right)-1}{3{x}^{2}} = \lim_{x \to 0} \frac{-\sin\left( x\right)}{6x}
      Indeterminação 0/0 — aplicar a regra de L’Hôpital
    3. lim⁡x→0−sin⁡(x)6x=lim⁡x→0−cos⁡(x)6\lim_{x \to 0} \frac{-\sin\left( x\right)}{6x} = \lim_{x \to 0} \frac{-\cos\left( x\right)}{6}
      Indeterminação 0/0 — aplicar a regra de L’Hôpital
    4. lim⁡x→0−cos⁡(x)6=−cos⁡(0)6=−16≈−0.1666666667\lim_{x \to 0} \frac{-\cos\left( x\right)}{6} = \frac{-\cos\left(0\right)}{6} = -\frac{1}{6} \approx -0.1666666667
      Substituição direta
  3. 3. A resposta
    lim⁡x→0sin⁡(x)−xx3=−16≈−0.1666666667\lim_{x \to 0} \frac{\sin\left( x\right)- x}{{x}^{3}} = -\frac{1}{6} \approx -0.1666666667

    lim x→0 (sin(x) - x) / x³ = -(1/6) ≈ -0.1666666667

  4. 4. Verificação
    • Valores numéricos pela direita: f(0.01) = -0.16666583, f(0.001) = -0.16666666, f(0.0001) = -0.16666666, f(0.00001) = -0.16666728 (sem tendência clara nesta precisão)
    • Valores numéricos pela esquerda: f(-0.01) = -0.16666583, f(-0.001) = -0.16666666, f(-0.0001) = -0.16666666, f(-0.00001) = -0.16666728 (sem tendência clara nesta precisão)

Transcrição

O problema. Aqui está o problema: Encontre lim x- maior que 0 (sin(x) menos x)/x ao cubo. Calcular o limite de (sin(x) menos x) / x ao cubo quando x → 0.

Passo a passo. Indeterminação 0 sobre 0 — aplicar a regra de L’Hôpital. Derivar o numerador e o denominador separadamente (isto não é a regra do quociente). Indeterminação 0 sobre 0 — aplicar a regra de L’Hôpital. Derivar o numerador e o denominador separadamente (isto não é a regra do quociente). Indeterminação 0 sobre 0 — aplicar a regra de L’Hôpital. Derivar o numerador e o denominador separadamente (isto não é a regra do quociente). Substituição direta. A expressão é contínua em x igual a 0, então o limite é igual ao seu valor nesse ponto.

A resposta. Portanto, a resposta é Limite igual a -(1 sobre 6) aproximadamente menos 0.1666666667. Um limite descreve o valor do qual uma função se aproxima, não necessariamente o valor que ela assume. Quando a substituição dá uma indeterminação, a expressão é reescrita (regra de L’Hôpital, conjugado ou logaritmos) até a substituição funcionar.

Verificação. Valores numéricos pela direita: f(0.01) igual a menos 0.16666583, f(0.001) igual a menos 0.16666666, f(0.0001) igual a menos 0.16666666, f(0.00001) igual a menos 0.16666728 (sem tendência clara nesta precisão). Valores numéricos pela esquerda: f(menos 0.01) igual a menos 0.16666583, f(menos 0.001) igual a menos 0.16666666, f(menos 0.0001) igual a menos 0.16666666, f(menos 0.00001) igual a menos 0.16666728 (sem tendência clara nesta precisão).

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