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Resolver um problema
LimitesCálculoFaculdade≈ 2:25

Encontre lim x→0 ln(1+3x)/x

Uma aula animada passo a passo. Toque em Reproduzir para ver cada passo com legendas, ou leia os passos e a transcrição abaixo. Resposta: Limite = 3.

Vídeo gravado: a voz e a escrita na imagem estão em inglês. Legendas: Português. Para narração neste idioma, abra a versão interativa.

Vídeo em inglês: Baixar MP4 (0.9 MB) · Legendas (WebVTT): Português · Legendas em inglês (WebVTT)

Passos na tela

  1. 1. O problema
    Exemplo resolvido
    lim⁡x→0ln⁡(1+3x)x\lim_{x \to 0} \frac{\ln\left(1+3x\right)}{x}
  2. 2. Passo a passo
    1. lim⁡x→0ln⁡(1+3x)x=lim⁡x→033x+11\lim_{x \to 0} \frac{\ln\left(1+3x\right)}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{3}{3x+1}}{1}
      Indeterminação 0/0 — aplicar a regra de L’Hôpital
    2. lim⁡x→033x+11=lim⁡x→033x+1\lim_{x \to 0} \frac{\frac{3}{3x+1}}{1} = \lim_{x \to 0} \frac{3}{3x+1}
      Simplificar
    3. lim⁡x→033x+1=33(0)+1=3\lim_{x \to 0} \frac{3}{3x+1} = \frac{3}{3\left(0\right)+1} = 3
      Substituição direta
  3. 3. A resposta
    lim⁡x→0ln⁡(1+3x)x=3\lim_{x \to 0} \frac{\ln\left(1+3x\right)}{x} = 3

    lim x→0 ln(1 + 3 x) / x = 3

  4. 4. Verificação
    • Valores numéricos pela direita: f(0.01) = 2.9558802, f(0.001) = 2.995509, f(0.0001) = 2.9995501, f(0.00001) = 2.999955 (sem tendência clara nesta precisão)
    • Valores numéricos pela esquerda: f(-0.01) = 3.0459207, f(-0.001) = 3.004509, f(-0.0001) = 3.0004501, f(-0.00001) = 3.000045 (sem tendência clara nesta precisão)

Transcrição

O problema. Aqui está o problema: Encontre lim x- maior que 0 ln(1 mais 3x)/x. Calcular o limite de ln(1 mais 3 x) / x quando x → 0.

Passo a passo. Indeterminação 0 sobre 0 — aplicar a regra de L’Hôpital. Derivar o numerador e o denominador separadamente (isto não é a regra do quociente). Simplificar. Substituição direta. A expressão é contínua em x igual a 0, então o limite é igual ao seu valor nesse ponto.

A resposta. Portanto, a resposta é Limite igual a 3. Um limite descreve o valor do qual uma função se aproxima, não necessariamente o valor que ela assume. Quando a substituição dá uma indeterminação, a expressão é reescrita (regra de L’Hôpital, conjugado ou logaritmos) até a substituição funcionar.

Verificação. Valores numéricos pela direita: f(0.01) igual a 2.9558802, f(0.001) igual a 2.995509, f(0.0001) igual a 2.9995501, f(0.00001) igual a 2.999955 (sem tendência clara nesta precisão). Valores numéricos pela esquerda: f(menos 0.01) igual a 3.0459207, f(menos 0.001) igual a 3.004509, f(menos 0.0001) igual a 3.0004501, f(menos 0.00001) igual a 3.000045 (sem tendência clara nesta precisão).

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