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Resolver um problema
LimitesCálculoFaculdade≈ 2:02

Encontre lim x→0 sin(4x)/(2x)

Uma aula animada passo a passo. Toque em Reproduzir para ver cada passo com legendas, ou leia os passos e a transcrição abaixo. Resposta: Limite = 2.

Vídeo gravado: a voz e a escrita na imagem estão em inglês. Legendas: Português. Para narração neste idioma, abra a versão interativa.

Vídeo em inglês: Baixar MP4 (0.7 MB) · Legendas (WebVTT): Português · Legendas em inglês (WebVTT)

Passos na tela

  1. 1. O problema
    Exemplo resolvido
    lim⁡x→0sin⁡(4x)2x\lim_{x \to 0} \frac{\sin\left(4x\right)}{2x}
  2. 2. Passo a passo
    1. lim⁡x→0sin⁡(4x)2x=lim⁡x→04cos⁡(4x)2\lim_{x \to 0} \frac{\sin\left(4x\right)}{2x} = \lim_{x \to 0} \frac{4\cos\left(4x\right)}{2}
      Indeterminação 0/0 — aplicar a regra de L’Hôpital
    2. lim⁡x→04cos⁡(4x)2=lim⁡x→02cos⁡(4x)\lim_{x \to 0} \frac{4\cos\left(4x\right)}{2} = \lim_{x \to 0} 2\cos\left(4x\right)
      Simplificar
    3. lim⁡x→02cos⁡(4x)=2cos⁡(4(0))=2\lim_{x \to 0} 2\cos\left(4x\right) = 2\cos\left(4\left(0\right)\right) = 2
      Substituição direta
  3. 3. A resposta
    lim⁡x→0sin⁡(4x)2x=2\lim_{x \to 0} \frac{\sin\left(4x\right)}{2x} = 2

    lim x→0 sin(4 x) / (2 x) = 2

  4. 4. Verificação
    • Os valores numéricos pela direita concordam: f(0.01) = 1.9994667, f(0.001) = 1.9999947, f(0.0001) = 1.9999999, f(0.00001) = 2 ✓
    • Os valores numéricos pela esquerda concordam: f(-0.01) = 1.9994667, f(-0.001) = 1.9999947, f(-0.0001) = 1.9999999, f(-0.00001) = 2 ✓

Transcrição

O problema. Aqui está o problema: Encontre lim x- maior que 0 sin(4x)/(2x). Calcular o limite de sin(4 x) / (2 x) quando x → 0.

Passo a passo. Indeterminação 0 sobre 0 — aplicar a regra de L’Hôpital. Derivar o numerador e o denominador separadamente (isto não é a regra do quociente). Simplificar. Substituição direta. A expressão é contínua em x igual a 0, então o limite é igual ao seu valor nesse ponto.

A resposta. Portanto, a resposta é Limite igual a 2. Um limite descreve o valor do qual uma função se aproxima, não necessariamente o valor que ela assume. Quando a substituição dá uma indeterminação, a expressão é reescrita (regra de L’Hôpital, conjugado ou logaritmos) até a substituição funcionar.

Verificação. Os valores numéricos pela direita concordam: f(0.01) igual a 1.9994667, f(0.001) igual a 1.9999947, f(0.0001) igual a 1.9999999, f(0.00001) igual a 2, o que confere. Os valores numéricos pela esquerda concordam: f(menos 0.01) igual a 1.9994667, f(menos 0.001) igual a 1.9999947, f(menos 0.0001) igual a 1.9999999, f(menos 0.00001) igual a 2, o que confere.

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