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Resolver um problema
LimitesCálculoFaculdade≈ 1:59

Encontre lim x→0 sin(5x)/x

Uma aula animada passo a passo. Toque em Reproduzir para ver cada passo com legendas, ou leia os passos e a transcrição abaixo. Resposta: Limite = 5.

Vídeo gravado: a voz e a escrita na imagem estão em inglês. Legendas: Português. Para narração neste idioma, abra a versão interativa.

Vídeo em inglês: Baixar MP4 (0.7 MB) · Legendas (WebVTT): Português · Legendas em inglês (WebVTT)

Passos na tela

  1. 1. O problema
    Exemplo resolvido
    lim⁡x→0sin⁡(5x)x\lim_{x \to 0} \frac{\sin\left(5x\right)}{x}
  2. 2. Passo a passo
    1. lim⁡x→0sin⁡(5x)x=lim⁡x→05cos⁡(5x)1\lim_{x \to 0} \frac{\sin\left(5x\right)}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{5\cos\left(5x\right)}{1}
      Indeterminação 0/0 — aplicar a regra de L’Hôpital
    2. lim⁡x→05cos⁡(5x)1=lim⁡x→05cos⁡(5x)\lim_{x \to 0} \frac{5\cos\left(5x\right)}{1} = \lim_{x \to 0} 5\cos\left(5x\right)
      Simplificar
    3. lim⁡x→05cos⁡(5x)=5cos⁡(5(0))=5\lim_{x \to 0} 5\cos\left(5x\right) = 5\cos\left(5\left(0\right)\right) = 5
      Substituição direta
  3. 3. A resposta
    lim⁡x→0sin⁡(5x)x=5\lim_{x \to 0} \frac{\sin\left(5x\right)}{x} = 5

    lim x→0 sin(5 x) / x = 5

  4. 4. Verificação
    • Os valores numéricos pela direita concordam: f(0.01) = 4.9979169, f(0.001) = 4.9999792, f(0.0001) = 4.9999998, f(0.00001) = 5 ✓
    • Os valores numéricos pela esquerda concordam: f(-0.01) = 4.9979169, f(-0.001) = 4.9999792, f(-0.0001) = 4.9999998, f(-0.00001) = 5 ✓

Transcrição

O problema. Aqui está o problema: Encontre lim x- maior que 0 sin(5x)/x. Calcular o limite de sin(5 x) / x quando x → 0.

Passo a passo. Indeterminação 0 sobre 0 — aplicar a regra de L’Hôpital. Derivar o numerador e o denominador separadamente (isto não é a regra do quociente). Simplificar. Substituição direta. A expressão é contínua em x igual a 0, então o limite é igual ao seu valor nesse ponto.

A resposta. Portanto, a resposta é Limite igual a 5. Um limite descreve o valor do qual uma função se aproxima, não necessariamente o valor que ela assume. Quando a substituição dá uma indeterminação, a expressão é reescrita (regra de L’Hôpital, conjugado ou logaritmos) até a substituição funcionar.

Verificação. Os valores numéricos pela direita concordam: f(0.01) igual a 4.9979169, f(0.001) igual a 4.9999792, f(0.0001) igual a 4.9999998, f(0.00001) igual a 5, o que confere. Os valores numéricos pela esquerda concordam: f(menos 0.01) igual a 4.9979169, f(menos 0.001) igual a 4.9999792, f(menos 0.0001) igual a 4.9999998, f(menos 0.00001) igual a 5, o que confere.

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