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Resolver um problema
LimitesCálculoFaculdade≈ 2:28

Encontre lim x→0 (tan(x) - sin(x))/x³

Uma aula animada passo a passo. Toque em Reproduzir para ver cada passo com legendas, ou leia os passos e a transcrição abaixo. Resposta: Limite = 1/2 ≈ 0.5.

Vídeo gravado: a voz e a escrita na imagem estão em inglês. Legendas: Português. Para narração neste idioma, abra a versão interativa.

Vídeo em inglês: Baixar MP4 (1.0 MB) · Legendas (WebVTT): Português · Legendas em inglês (WebVTT)

Passos na tela

  1. 1. O problema
    Exemplo resolvido
    lim⁡x→0tan⁡(x)−sin⁡(x)x3\lim_{x \to 0} \frac{\tan\left( x\right)-\sin\left( x\right)}{{x}^{3}}
  2. 2. Passo a passo
    1. lim⁡x→0tan⁡(x)−sin⁡(x)x3=lim⁡x→0sec⁡(x)2−cos⁡(x)3x2\lim_{x \to 0} \frac{\tan\left( x\right)-\sin\left( x\right)}{{x}^{3}} = \lim_{x \to 0} \frac{{\sec\left( x\right)}^{2}-\cos\left( x\right)}{3{x}^{2}}
      Indeterminação 0/0 — aplicar a regra de L’Hôpital
    2. lim⁡x→0sec⁡(x)2−cos⁡(x)3x2=lim⁡x→02sec⁡(x)2tan⁡(x)+sin⁡(x)6x\lim_{x \to 0} \frac{{\sec\left( x\right)}^{2}-\cos\left( x\right)}{3{x}^{2}} = \lim_{x \to 0} \frac{2 {\sec\left( x\right)}^{2} \tan\left( x\right)+\sin\left( x\right)}{6x}
      Indeterminação 0/0 — aplicar a regra de L’Hôpital
    3. lim⁡x→02sec⁡(x)2tan⁡(x)+sin⁡(x)6x=lim⁡x→04tan⁡(x)2sec⁡(x)2+2sec⁡(x)4+cos⁡(x)6\lim_{x \to 0} \frac{2 {\sec\left( x\right)}^{2} \tan\left( x\right)+\sin\left( x\right)}{6x} = \lim_{x \to 0} \frac{4 {\tan\left( x\right)}^{2} {\sec\left( x\right)}^{2}+2 {\sec\left( x\right)}^{4}+\cos\left( x\right)}{6}
      Indeterminação 0/0 — aplicar a regra de L’Hôpital
    4. lim⁡x→04tan⁡(x)2sec⁡(x)2+2sec⁡(x)4+cos⁡(x)6=4tan⁡(0)2sec⁡(0)2+2sec⁡(0)4+cos⁡(0)6=12≈0.5\lim_{x \to 0} \frac{4 {\tan\left( x\right)}^{2} {\sec\left( x\right)}^{2}+2 {\sec\left( x\right)}^{4}+\cos\left( x\right)}{6} = \frac{4 {\tan\left(0\right)}^{2} {\sec\left(0\right)}^{2}+2 {\sec\left(0\right)}^{4}+\cos\left(0\right)}{6} = \frac{1}{2} \approx 0.5
      Substituição direta
  3. 3. A resposta
    lim⁡x→0tan⁡(x)−sin⁡(x)x3=12≈0.5\lim_{x \to 0} \frac{\tan\left( x\right)-\sin\left( x\right)}{{x}^{3}} = \frac{1}{2} \approx 0.5

    lim x→0 (tan(x) - sin(x)) / x³ = 1/2 ≈ 0.5

  4. 4. Verificação
    • Valores numéricos pela direita: f(0.01) = 0.5000125, f(0.001) = 0.50000013, f(0.0001) = 0.5, f(0.00001) = 0.50000016 (sem tendência clara nesta precisão)
    • Valores numéricos pela esquerda: f(-0.01) = 0.5000125, f(-0.001) = 0.50000013, f(-0.0001) = 0.5, f(-0.00001) = 0.50000016 (sem tendência clara nesta precisão)

Transcrição

O problema. Aqui está o problema: Encontre lim x- maior que 0 (tan(x) menos sin(x))/x ao cubo. Calcular o limite de (tan(x) menos sin(x)) / x ao cubo quando x → 0.

Passo a passo. Indeterminação 0 sobre 0 — aplicar a regra de L’Hôpital. Derivar o numerador e o denominador separadamente (isto não é a regra do quociente). Indeterminação 0 sobre 0 — aplicar a regra de L’Hôpital. Derivar o numerador e o denominador separadamente (isto não é a regra do quociente). Indeterminação 0 sobre 0 — aplicar a regra de L’Hôpital. Derivar o numerador e o denominador separadamente (isto não é a regra do quociente). Substituição direta. A expressão é contínua em x igual a 0, então o limite é igual ao seu valor nesse ponto.

A resposta. Portanto, a resposta é Limite igual a 1 sobre 2 aproximadamente 0.5. Um limite descreve o valor do qual uma função se aproxima, não necessariamente o valor que ela assume. Quando a substituição dá uma indeterminação, a expressão é reescrita (regra de L’Hôpital, conjugado ou logaritmos) até a substituição funcionar.

Verificação. Valores numéricos pela direita: f(0.01) igual a 0.5000125, f(0.001) igual a 0.50000013, f(0.0001) igual a 0.5, f(0.00001) igual a 0.50000016 (sem tendência clara nesta precisão). Valores numéricos pela esquerda: f(menos 0.01) igual a 0.5000125, f(menos 0.001) igual a 0.50000013, f(menos 0.0001) igual a 0.5, f(menos 0.00001) igual a 0.50000016 (sem tendência clara nesta precisão).

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