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Resolver um problema
LimitesCálculoFaculdade≈ 2:19

Encontre lim x→∞ x⁴e^(-x)

Uma aula animada passo a passo. Toque em Reproduzir para ver cada passo com legendas, ou leia os passos e a transcrição abaixo. Resposta: Limite = 0.

Vídeo gravado: a voz e a escrita na imagem estão em inglês. Legendas: Português. Para narração neste idioma, abra a versão interativa.

Vídeo em inglês: Baixar MP4 (0.9 MB) · Legendas (WebVTT): Português · Legendas em inglês (WebVTT)

Passos na tela

  1. 1. O problema
    Exemplo resolvido
    lim⁡x→∞x4e−x\lim_{x \to \infty} {x}^{4} {e}^{- x}
  2. 2. Passos, parte 1
    1. lim⁡x→∞x4e−x=lim⁡x→∞x4ex\lim_{x \to \infty} {x}^{4} {e}^{- x} = \lim_{x \to \infty} \frac{{x}^{4}}{{e}^{x}}
      Indeterminação 0·∞ — reescrever como quociente
    2. lim⁡x→∞x4ex=lim⁡x→∞4x3ex\lim_{x \to \infty} \frac{{x}^{4}}{{e}^{x}} = \lim_{x \to \infty} \frac{4{x}^{3}}{{e}^{x}}
      Indeterminação ∞/∞ — aplicar a regra de L’Hôpital
    3. lim⁡x→∞4x3ex=lim⁡x→∞12x2ex\lim_{x \to \infty} \frac{4{x}^{3}}{{e}^{x}} = \lim_{x \to \infty} \frac{12{x}^{2}}{{e}^{x}}
      Indeterminação ∞/∞ — aplicar a regra de L’Hôpital
    4. lim⁡x→∞12x2ex=lim⁡x→∞24xex\lim_{x \to \infty} \frac{12{x}^{2}}{{e}^{x}} = \lim_{x \to \infty} \frac{24x}{{e}^{x}}
      Indeterminação ∞/∞ — aplicar a regra de L’Hôpital
  3. 3. Passos, parte 2
    1. lim⁡x→∞24xex=lim⁡x→∞24xex\lim_{x \to \infty} \frac{24x}{{e}^{x}} = \lim_{x \to \infty} \frac{24x}{{e}^{x}}
      Simplificar
    2. lim⁡x→∞24xex=lim⁡x→∞24ex\lim_{x \to \infty} \frac{24x}{{e}^{x}} = \lim_{x \to \infty} \frac{24}{{e}^{x}}
      Indeterminação ∞/∞ — aplicar a regra de L’Hôpital
    3. lim⁡x→∞24ex=lim⁡x→∞24ex\lim_{x \to \infty} \frac{24}{{e}^{x}} = \lim_{x \to \infty} \frac{24}{{e}^{x}}
      Simplificar
    4. lim⁡x→∞24ex=0\lim_{x \to \infty} \frac{24}{{e}^{x}} = 0
      Numerador limitado sobre um denominador ilimitado
  4. 4. A resposta
    lim⁡x→∞x4e−x=0\lim_{x \to \infty} {x}^{4} {e}^{- x} = 0

    lim x→∞ x⁴ e^(-x) = 0

  5. 5. Verificação
    • Os valores numéricos quando x cresce concordam: f(127.18281) = 0, f(1271.8281) = 0, f(12718.281) = 0, f(127182.81) = 0 ✓

Transcrição

O problema. Aqui está o problema: Encontre lim x- maior que infinito x elevado a 4e elevado a menos x. Calcular o limite de x elevado a 4 e elevado a menos x quando x → ∞.

Passos, parte 1. Indeterminação 0 vezes ∞ — reescrever como quociente. Passar um fator para o denominador como o seu inverso transforma 0 vezes ∞ em 0 sobre 0 ou ∞/∞. Indeterminação ∞/∞ — aplicar a regra de L’Hôpital. Derivar o numerador e o denominador separadamente (isto não é a regra do quociente). Indeterminação ∞/∞ — aplicar a regra de L’Hôpital. Derivar o numerador e o denominador separadamente (isto não é a regra do quociente). Indeterminação ∞/∞ — aplicar a regra de L’Hôpital. Derivar o numerador e o denominador separadamente (isto não é a regra do quociente).

Passos, parte 2. Simplificar. Indeterminação ∞/∞ — aplicar a regra de L’Hôpital. Derivar o numerador e o denominador separadamente (isto não é a regra do quociente). Simplificar. Numerador limitado sobre um denominador ilimitado. O numerador se aproxima de 24 e o denominador cresce sem limite, então o quociente se aproxima de 0.

A resposta. Portanto, a resposta é Limite igual a 0. Um limite descreve o valor do qual uma função se aproxima, não necessariamente o valor que ela assume. Quando a substituição dá uma indeterminação, a expressão é reescrita (regra de L’Hôpital, conjugado ou logaritmos) até a substituição funcionar.

Verificação. Os valores numéricos quando x cresce concordam: f(127.18281) igual a 0, f(1271.8281) igual a 0, f(12718.281) igual a 0, f(127182.81) igual a 0, o que confere.

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