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Resolver um problema
LimitesCálculoFaculdade≈ 2:09

Encontre lim x→1 ln(x)/(x-1)

Uma aula animada passo a passo. Toque em Reproduzir para ver cada passo com legendas, ou leia os passos e a transcrição abaixo. Resposta: Limite = 1.

Vídeo gravado: a voz e a escrita na imagem estão em inglês. Legendas: Português. Para narração neste idioma, abra a versão interativa.

Vídeo em inglês: Baixar MP4 (0.8 MB) · Legendas (WebVTT): Português · Legendas em inglês (WebVTT)

Passos na tela

  1. 1. O problema
    Exemplo resolvido
    lim⁡x→1ln⁡(x)x−1\lim_{x \to 1} \frac{\ln\left( x\right)}{x-1}
  2. 2. Passo a passo
    1. lim⁡x→1ln⁡(x)x−1=lim⁡x→11x1\lim_{x \to 1} \frac{\ln\left( x\right)}{x-1} = \lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x}}{1}
      Indeterminação 0/0 — aplicar a regra de L’Hôpital
    2. lim⁡x→11x1=lim⁡x→11x\lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x}}{1} = \lim_{x \to 1} \frac{1}{x}
      Simplificar
    3. lim⁡x→11x=11=1\lim_{x \to 1} \frac{1}{x} = \frac{1}{1} = 1
      Substituição direta
  3. 3. A resposta
    lim⁡x→1ln⁡(x)x−1=1\lim_{x \to 1} \frac{\ln\left( x\right)}{x-1} = 1

    lim x→1 ln(x) / (x - 1) = 1

  4. 4. Verificação
    • Os valores numéricos pela direita concordam: f(1.01) = 0.99503309, f(1.001) = 0.99950033, f(1.0001) = 0.99995, f(1.00001) = 0.999995 ✓
    • Os valores numéricos pela esquerda concordam: f(0.99) = 1.0050336, f(0.999) = 1.0005003, f(0.9999) = 1.00005, f(0.99999) = 1.000005 ✓

Transcrição

O problema. Aqui está o problema: Encontre lim x- maior que 1 ln(x)/(x menos 1). Calcular o limite de ln(x) / (x menos 1) quando x → 1.

Passo a passo. Indeterminação 0 sobre 0 — aplicar a regra de L’Hôpital. Derivar o numerador e o denominador separadamente (isto não é a regra do quociente). Simplificar. Substituição direta. A expressão é contínua em x igual a 1, então o limite é igual ao seu valor nesse ponto.

A resposta. Portanto, a resposta é Limite igual a 1. Um limite descreve o valor do qual uma função se aproxima, não necessariamente o valor que ela assume. Quando a substituição dá uma indeterminação, a expressão é reescrita (regra de L’Hôpital, conjugado ou logaritmos) até a substituição funcionar.

Verificação. Os valores numéricos pela direita concordam: f(1.01) igual a 0.99503309, f(1.001) igual a 0.99950033, f(1.0001) igual a 0.99995, f(1.00001) igual a 0.999995, o que confere. Os valores numéricos pela esquerda concordam: f(0.99) igual a 1.0050336, f(0.999) igual a 1.0005003, f(0.9999) igual a 1.00005, f(0.99999) igual a 1.000005, o que confere.

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