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Resolver um problema
LimitesCálculoFaculdade≈ 2:35

Encontre lim x→0 (cos(x)-1)/x

Uma aula animada passo a passo. Toque em Reproduzir para ver cada passo com legendas, ou leia os passos e a transcrição abaixo. Resposta: Limite = 0.

Vídeo gravado: a voz e a escrita na imagem estão em inglês. Legendas: Português. Para narração neste idioma, abra a versão interativa.

Vídeo em inglês: Baixar MP4 (0.9 MB) · Legendas (WebVTT): Português · Legendas em inglês (WebVTT)

Passos na tela

  1. 1. O problema
    Exemplo resolvido
    lim⁡x→0cos⁡(x)−1x\lim_{x \to 0} \frac{\cos\left( x\right)-1}{x}
  2. 2. Passo a passo
    1. lim⁡x→0cos⁡(x)−1x=lim⁡x→0−sin⁡(x)1\lim_{x \to 0} \frac{\cos\left( x\right)-1}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{-\sin\left( x\right)}{1}
      Indeterminação 0/0 — aplicar a regra de L’Hôpital
    2. lim⁡x→0−sin⁡(x)1=lim⁡x→0−sin⁡(x)\lim_{x \to 0} \frac{-\sin\left( x\right)}{1} = \lim_{x \to 0} -\sin\left( x\right)
      Simplificar
    3. lim⁡x→0−sin⁡(x)=−sin⁡(0)=0\lim_{x \to 0} -\sin\left( x\right) = -\sin\left(0\right) = 0
      Substituição direta
  3. 3. A resposta
    lim⁡x→0cos⁡(x)−1x=0\lim_{x \to 0} \frac{\cos\left( x\right)-1}{x} = 0

    lim x→0 (cos(x) - 1) / x = 0

  4. 4. Verificação
    • Os valores numéricos pela direita concordam: f(0.01) = -0.0049999583, f(0.001) = -0.00049999996, f(0.0001) = -0.00005, f(0.00001) = -0.0000050000004 ✓
    • Os valores numéricos pela esquerda concordam: f(-0.01) = 0.0049999583, f(-0.001) = 0.00049999996, f(-0.0001) = 0.00005, f(-0.00001) = 0.0000050000004 ✓

Transcrição

O problema. Aqui está o problema: Encontre lim x- maior que 0 (cos(x) menos 1)/x. Calcular o limite de (cos(x) menos 1) / x quando x → 0.

Passo a passo. Indeterminação 0 sobre 0 — aplicar a regra de L’Hôpital. Derivar o numerador e o denominador separadamente (isto não é a regra do quociente). Simplificar. Substituição direta. A expressão é contínua em x igual a 0, então o limite é igual ao seu valor nesse ponto.

A resposta. Portanto, a resposta é Limite igual a 0. Um limite descreve o valor do qual uma função se aproxima, não necessariamente o valor que ela assume. Quando a substituição dá uma indeterminação, a expressão é reescrita (regra de L’Hôpital, conjugado ou logaritmos) até a substituição funcionar.

Verificação. Os valores numéricos pela direita concordam: f(0.01) igual a menos 0.0049999583, f(0.001) igual a menos 0.00049999996, f(0.0001) igual a menos 0.00005, f(0.00001) igual a menos 0.0000050000004, o que confere. Os valores numéricos pela esquerda concordam: f(menos 0.01) igual a 0.0049999583, f(menos 0.001) igual a 0.00049999996, f(menos 0.0001) igual a 0.00005, f(menos 0.00001) igual a 0.0000050000004, o que confere.

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