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Resolver um problema
Integrais indefinidasCálculoFaculdade≈ 0:56

Integre (ln x)/x

Uma aula animada passo a passo. Toque em Reproduzir para ver cada passo com legendas, ou leia os passos e a transcrição abaixo. Resposta: ln(x)²/2 + C.

Vídeo gravado: a voz e a escrita na imagem estão em inglês. Legendas: Português. Para narração neste idioma, abra a versão interativa.

Vídeo em inglês: Baixar MP4 (0.3 MB) · Legendas (WebVTT): Português · Legendas em inglês (WebVTT)

Passos na tela

  1. 1. O problema
    Exemplo resolvido
    ∫ln⁡(x)x dx\int \frac{\ln\left( x\right)}{x}\,dx
  2. 2. Passos, parte 1
    1. ∫ln⁡(x)x dx\int \frac{\ln\left( x\right)}{x}\,dx
      Partir da integral
    2. ∫ln⁡(x)x dx=∫u1 du\int \frac{\ln\left( x\right)}{x}\,dx = \int {u}^{1}\,du
      Substituir u = ln(x), então du = (1 / x) dx
    3. ∫u1 du=u22\int {u}^{1}\,du = \frac{{u}^{2}}{2}
      Regra da potência: ∫ xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n+1)
    4. ∫ln⁡(x)x dx=ln⁡(x)22\int \frac{\ln\left( x\right)}{x}\,dx = \frac{{\ln\left( x\right)}^{2}}{2}
      Substituir de volta u = ln(x)
  3. 3. Passos, parte 2
    1. ∫ln⁡(x)x dx=ln⁡(x)22+C\int \frac{\ln\left( x\right)}{x}\,dx = \frac{{\ln\left( x\right)}^{2}}{2} + C
      Simplificar e somar a constante de integração
  4. 4. A resposta
    ln⁡(x)22+C\frac{{\ln\left( x\right)}^{2}}{2} + C

    ∫ (ln(x)) / x dx = ln(x)²/2 + C

  5. 5. Verificação
    • Resultado derivado e comparado com o integrando em 8 pontos de teste ✓

Transcrição

O problema. Aqui está o problema: Integre (ln x)/x. Calcular a integral indefinida (primitiva) de (ln(x)) / x em relação a x.

Passos, parte 1. Partir da integral. Substituir u igual a ln(x), então du igual a (1 / x) dx. Regra da potência: a integral de x elevado a n dx igual a x elevado a n mais 1/(n mais 1). Substituir de volta u igual a ln(x).

Passos, parte 2. Simplificar e somar a constante de integração.

A resposta. Portanto, a resposta é ln(x) ao quadrado/2 mais C. Uma primitiva F satisfaz F linha de x igual a f(x). Como a derivada de qualquer constante vale 0, duas primitivas diferem por uma constante C.

Verificação. Resultado derivado e comparado com o integrando em 8 pontos de teste, o que confere.

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