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Resolver um problema
Equações polinomiaisÁlgebraEnsino médio≈ 1:41

Resolver x³ + 8x² + 11x - 20 = 0

Uma aula animada passo a passo. Toque em Reproduzir para ver cada passo com legendas, ou leia os passos e a transcrição abaixo. Resposta: x = -5, x = -4, x = 1.

Vídeo gravado: a voz e a escrita na imagem estão em inglês. Legendas: Português. Para narração neste idioma, abra a versão interativa.

Vídeo em inglês: Baixar MP4 (0.7 MB) · Legendas (WebVTT): Português · Legendas em inglês (WebVTT)

Passos na tela

  1. 1. O problema
    Exemplo resolvido
    x3+8 x2+11 x−20=0{ x}^{3}+8~{ x}^{2}+11~ x-20 = 0
  2. 2. Passos, parte 1
    1. x3+8 x2+11 x−20=0{ x}^{3}+8~{ x}^{2}+11~ x-20 = 0
      Partir da equação
    2. x3+8x2+11x−20=0x^{3} + 8x^{2} + 11x - 20 = 0
      Passar todos os termos para um lado
    3. x2+3x−4=0x^{2} + 3x - 4 = 0
      Testar os candidatos do teorema das raízes racionais: x = -5 é uma raiz
    4. x−1=0x - 1 = 0
      Testar os candidatos do teorema das raízes racionais: x = -4 é uma raiz
  3. 3. Passos, parte 2
    1. Testar os candidatos do teorema das raízes racionais: x = 1 é uma raiz
    2. x=−5,x=−4,x=1x = -5,\quad x = -4,\quad x = 1
      Reunir as soluções reais
  4. 4. No gráfico
    -8-6-4-224-60-40-20204060x = -5x = -4x = 1
    Cada solução é um ponto onde o gráfico cruza o zero.
  5. 5. A resposta
    x=−5, x=−4, x=1x = -5,\ x = -4,\ x = 1

    x = -5, x = -4, x = 1

  6. 6. Verificação
    • x = -5: lado esquerdo = 0, lado direito = 0 ✓
    • x = -4: lado esquerdo = 0, lado direito = 0 ✓
    • x = 1: lado esquerdo = 0, lado direito = 0 ✓

Transcrição

O problema. Aqui está o problema: x ao cubo mais 8x ao quadrado mais 11x menos 20 igual a 0. Equação polinomial de grau 3 em x.

Passos, parte 1. Partir da equação. Passar todos os termos para um lado. Testar os candidatos do teorema das raízes racionais: x igual a menos 5 é uma raiz. A divisão sintética (Briot-Ruffini) por (x mais 5) deixa um polinômio de grau 2. Testar os candidatos do teorema das raízes racionais: x igual a menos 4 é uma raiz. A divisão sintética (Briot-Ruffini) por (x mais 4) deixa um polinômio de grau 1.

Passos, parte 2. Testar os candidatos do teorema das raízes racionais: x igual a 1 é uma raiz. A divisão sintética (Briot-Ruffini) por (x menos 1) deixa um polinômio de grau 0. Reunir as soluções reais.

No gráfico. Agora observe o gráfico do lado esquerdo menos o lado direito. Ele cruza o zero exatamente nas soluções encontradas.

A resposta. Portanto, a resposta é x igual a menos 5, x igual a menos 4, x igual a 1. Um polinômio de grau 3 tem exatamente 3 raízes contadas com multiplicidade (algumas podem ser complexas). Primeiro se buscam as raízes racionais exatas; depois, as demais são calculadas de forma exata ou aproximada.

Verificação. x igual a menos 5: lado esquerdo igual a 0, lado direito igual a 0, o que confere. x igual a menos 4: lado esquerdo igual a 0, lado direito igual a 0, o que confere. x igual a 1: lado esquerdo igual a 0, lado direito igual a 0, o que confere.

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