ПроизводныеМатематический анализВуз≈ 1:15

Производная ((2x)³+(ln(x²+1))

Анимированный пошаговый урок. Нажмите «Воспроизвести», чтобы смотреть шаги с субтитрами, или прочитайте шаги и расшифровку ниже. Ответ: f'(x) = 24x² + 2x / (x² + 1).

СкоростьЯзык

Главы

Транскрипт

Записанное видео: голос и текст на экране на английском языке. Субтитры: Русский. Чтобы включить озвучку на этом языке, откройте интерактивную версию.

Видео на английском: Скачать MP4 (0.5 MB) · Субтитры (WebVTT): Русский · Субтитры на английском (WebVTT)

Шаги на экране

1. Задача
Разобранный пример
$\frac{d}{dx}\left[{\left(2x\right)}^{3}+\ln\left({x}^{2}+1\right)\right]$
2. Шаги, часть 1
1. $\frac{d}{dx}\left[{\left(2x\right)}^{3}+\ln\left({x}^{2}+1\right)\right] = 24{x}^{2}+\frac{2x}{{x}^{2}+1}$
  Производная суммы: дифференцируем каждое слагаемое отдельно
2. $\frac{d}{dx}\left[\ln\left({x}^{2}+1\right)\right] = \frac{2x}{{x}^{2}+1}$
  Производная сложной функции — d/dx[ln u] = u′/u
3. $\frac{d}{dx}\left[{x}^{2}+1\right] = 2x$
  Производная суммы: дифференцируем каждое слагаемое отдельно
4. $\frac{d}{dx}\left[{x}^{2}\right] = 2x$
  Производная степени: d/dx[xⁿ] = n·xⁿ⁻¹
3. Шаги, часть 2
1. $\frac{d}{dx}\left[{\left(2x\right)}^{3}\right] = 24{x}^{2}$
  Правило дифференцирования степенной функции с цепным правилом: d/dx[uⁿ] = n·uⁿ⁻¹·u′
2. $\frac{d}{dx}\left[2x\right] = 2$
  Вынесение постоянного множителя
3. $f'(x) = 24{x}^{2}+\frac{2x}{{x}^{2}+1}$
  Приводим подобные и упрощаем
4. Ответ
$f'(x) = 24{x}^{2}+\frac{2x}{{x}^{2}+1}$
f'(x) = 24x² + 2x / (x² + 1)
5. Проверка
- Сверено численно с независимой системой символьного дифференцирования в 8 контрольных точках ✓

Расшифровка

Задача. Вот задача: Производная ((2x) в кубе) плюс (ln(x в квадрате плюс 1)). Найдём производную ((2x) в кубе) плюс (ln(x в квадрате плюс 1)) по x.

Шаги, часть 1. Производная суммы: дифференцируем каждое слагаемое отдельно. Производная сложной функции — производная по x[ln u] равно u штрих /u. Производная суммы: дифференцируем каждое слагаемое отдельно. Производная степени: производная по x[x в степени n] равно n умножить на x в степени n минус 1.

Шаги, часть 2. Правило дифференцирования степенной функции с цепным правилом: производная по x[u в степени n] равно n умножить на u в степени n минус 1 умножить на u штрих. Вынесение постоянного множителя. Приводим подобные и упрощаем.

Ответ. Итак, ответ: f штрих от x равно 24x в квадрате плюс 2x / (x в квадрате плюс 1). Производная строится снаружи внутрь: сумма разбивается на слагаемые, постоянный множитель выносится, для произведений и частных действуют свои правила, а каждая сложная функция умножается на производную внутренней функции (правило дифференцирования сложной функции).

Проверка. Сверено численно с независимой системой символьного дифференцирования в 8 контрольных точках, что верно.

Шаги на экране

Расшифровка

Похожие уроки