Перейти к содержимому
MathSolver Pro
  • Открыть решатель
  • Спросить ИИ-репетитора
  • Найти курс AP
  • Создать тест
  • Открыть калькулятор
  • Графический калькулятор
  • Все калькуляторы
  • Читать руководства по математике
↑ ↓Enter — открыть · Esc — закрыть
Решить задачу
ПроизводныеМатематический анализВуз≈ 1:08

Найдите d/dx((x² + 1)/(x - 1))

Анимированный пошаговый урок. Нажмите «Воспроизвести», чтобы смотреть шаги с субтитрами, или прочитайте шаги и расшифровку ниже. Ответ: f'(x) = (2x - (x² + 1) / (x - 1)) / (x - 1).

Записанное видео: голос и текст на экране на английском языке. Субтитры: Русский. Чтобы включить озвучку на этом языке, откройте интерактивную версию.

Видео на английском: Скачать MP4 (0.4 MB) · Субтитры (WebVTT): Русский · Субтитры на английском (WebVTT)

Шаги на экране

  1. 1. Задача
    Разобранный пример
    ddx[x2+1x−1]\frac{d}{dx}\left[\frac{{x}^{2}+1}{x-1}\right]
  2. 2. Шаги, часть 1
    1. ddx[x2+1x−1]=2x−x2+1x−1x−1\frac{d}{dx}\left[\frac{{x}^{2}+1}{x-1}\right] = \frac{2x-\frac{{x}^{2}+1}{x-1}}{x-1}
      Производная частного: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
    2. ddx[x−1]=1\frac{d}{dx}\left[ x-1\right] = 1
      Производная разности: дифференцируем каждое слагаемое отдельно
    3. ddx[x2+1]=2x\frac{d}{dx}\left[{x}^{2}+1\right] = 2x
      Производная суммы: дифференцируем каждое слагаемое отдельно
    4. ddx[x2]=2x\frac{d}{dx}\left[{x}^{2}\right] = 2x
      Производная степени: d/dx[xⁿ] = n·xⁿ⁻¹
  3. 3. Шаги, часть 2
    1. f′(x)=2x−x2+1x−1x−1f'(x) = \frac{2x-\frac{{x}^{2}+1}{x-1}}{x-1}
      Приводим подобные и упрощаем
  4. 4. Ответ
    f′(x)=2x−x2+1x−1x−1f'(x) = \frac{2x-\frac{{x}^{2}+1}{x-1}}{x-1}

    f'(x) = (2x - (x² + 1) / (x - 1)) / (x - 1)

  5. 5. Проверка
    • Сверено численно с независимой системой символьного дифференцирования в 8 контрольных точках ✓

Расшифровка

Задача. Вот задача: Найдите производная по x((x в квадрате плюс 1)/(x минус 1)). Найдите производную ((x в квадрате плюс 1) / (x минус 1)) по x.

Шаги, часть 1. Производная частного: (u/v) штрих равно (u штрих v минус uv штрих )/v в квадрате. Производная разности: дифференцируем каждое слагаемое отдельно. Производная суммы: дифференцируем каждое слагаемое отдельно. Производная степени: производная по x[x в степени n] равно n умножить на x в степени n минус 1.

Шаги, часть 2. Приводим подобные и упрощаем.

Ответ. Итак, ответ: f штрих от x равно (2x минус (x в квадрате плюс 1) / (x минус 1)) / (x минус 1). Производная строится снаружи внутрь: сумма разбивается на слагаемые, постоянный множитель выносится, для произведений и частных действуют свои правила, а каждая сложная функция умножается на производную внутренней функции (правило дифференцирования сложной функции).

Проверка. Сверено численно с независимой системой символьного дифференцирования в 8 контрольных точках, что верно.

Похожие уроки

Найдите d/dx((x² + 1)/(x - 1)) — пошаговый видеоурок