Перейти к содержимому
MathSolver Pro
  • Открыть решатель
  • Спросить ИИ-репетитора
  • Найти курс AP
  • Создать тест
  • Открыть калькулятор
  • Графический калькулятор
  • Все калькуляторы
  • Читать руководства по математике
↑ ↓Enter — открыть · Esc — закрыть
Решить задачу
ПроизводныеМатематический анализВуз≈ 1:31

Производная (ln(x²+1))/(√(3x-2))

Анимированный пошаговый урок. Нажмите «Воспроизвести», чтобы смотреть шаги с субтитрами, или прочитайте шаги и расшифровку ниже. Ответ: f'(x) = (2x / (x² + 1) + ln(x² + 1)·-3/2 / sqrt(3 x - 2)²) / sqrt(3 x - 2).

Записанное видео: голос и текст на экране на английском языке. Субтитры: Русский. Чтобы включить озвучку на этом языке, откройте интерактивную версию.

Видео на английском: Скачать MP4 (0.6 MB) · Субтитры (WebVTT): Русский · Субтитры на английском (WebVTT)

Шаги на экране

  1. 1. Задача
    Разобранный пример
    ddx[ln⁡(x2+1)3x−2]\frac{d}{dx}\left[\frac{\ln\left({x}^{2}+1\right)}{\sqrt{3x-2}}\right]
  2. 2. Шаги, часть 1
    1. ddx[ln⁡(x2+1)3x−2]=2xx2+1+ln⁡(x2+1)⋅−323x−223x−2\frac{d}{dx}\left[\frac{\ln\left({x}^{2}+1\right)}{\sqrt{3x-2}}\right] = \frac{\frac{2x}{{x}^{2}+1}+\frac{\frac{\ln\left({x}^{2}+1\right)\cdot-3}{2}}{{\sqrt{3x-2}}^{2}}}{\sqrt{3x-2}}
      Производная частного: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
    2. ddx[3x−2]=323x−2\frac{d}{dx}\left[\sqrt{3x-2}\right] = \frac{\frac{3}{2}}{\sqrt{3x-2}}
      Цепное правило — d/dx[√u] = u′/(2√u)
    3. ddx[3x−2]=3\frac{d}{dx}\left[3x-2\right] = 3
      Производная разности: дифференцируем каждое слагаемое отдельно
    4. ddx[3x]=3\frac{d}{dx}\left[3x\right] = 3
      Вынесение постоянного множителя
  3. 3. Шаги, часть 2
    1. ddx[ln⁡(x2+1)]=2xx2+1\frac{d}{dx}\left[\ln\left({x}^{2}+1\right)\right] = \frac{2x}{{x}^{2}+1}
      Производная сложной функции — d/dx[ln u] = u′/u
    2. ddx[x2+1]=2x\frac{d}{dx}\left[{x}^{2}+1\right] = 2x
      Производная суммы: дифференцируем каждое слагаемое отдельно
    3. ddx[x2]=2x\frac{d}{dx}\left[{x}^{2}\right] = 2x
      Производная степени: d/dx[xⁿ] = n·xⁿ⁻¹
    4. f′(x)=2xx2+1+ln⁡(x2+1)⋅−323x−223x−2f'(x) = \frac{\frac{2x}{{x}^{2}+1}+\frac{\frac{\ln\left({x}^{2}+1\right)\cdot-3}{2}}{{\sqrt{3x-2}}^{2}}}{\sqrt{3x-2}}
      Приводим подобные и упрощаем
  4. 4. Ответ
    f′(x)=2xx2+1+ln⁡(x2+1)⋅−323x−223x−2f'(x) = \frac{\frac{2x}{{x}^{2}+1}+\frac{\frac{\ln\left({x}^{2}+1\right)\cdot-3}{2}}{{\sqrt{3x-2}}^{2}}}{\sqrt{3x-2}}

    f'(x) = (2x / (x² + 1) + ln(x² + 1)·-3/2 / sqrt(3 x - 2)²) / sqrt(3 x - 2)

  5. 5. Проверка
    • Сверено численно с независимой системой символьного дифференцирования в 8 контрольных точках ✓

Расшифровка

Задача. Вот задача: Производная (ln(x в квадрате плюс 1))/(sqrt(3x минус 2)). Найдите производную (ln(x в квадрате плюс 1)) / (sqrt(3 x минус 2)) по x.

Шаги, часть 1. Производная частного: (u/v) штрих равно (u штрих v минус uv штрих )/v в квадрате. Цепное правило — производная по x[квадратный корень из u] равно u штрих /(2квадратный корень из u. Производная разности: дифференцируем каждое слагаемое отдельно. Вынесение постоянного множителя.

Шаги, часть 2. Производная сложной функции — производная по x[ln u] равно u штрих /u. Производная суммы: дифференцируем каждое слагаемое отдельно. Производная степени: производная по x[x в степени n] равно n умножить на x в степени n минус 1. Приводим подобные и упрощаем.

Ответ. Итак, ответ: f штрих от x равно (2x / (x в квадрате плюс 1) плюс ln(x в квадрате плюс 1) умножить на минус 3 делить на 2 / sqrt(3 x минус 2) в квадрате) / sqrt(3 x минус 2). Производная строится снаружи внутрь: сумма разбивается на слагаемые, постоянный множитель выносится, для произведений и частных действуют свои правила, а каждая сложная функция умножается на производную внутренней функции (правило дифференцирования сложной функции).

Проверка. Сверено численно с независимой системой символьного дифференцирования в 8 контрольных точках, что верно.

Похожие уроки

Производная (ln(x²+1))/(√(3x-2)) — пошаговый видеоурок