ПроизводныеМатематический анализВуз≈ 1:26

Производная (√(eˣ+1))(cos(sin(x)))

Анимированный пошаговый урок. Нажмите «Воспроизвести», чтобы смотреть шаги с субтитрами, или прочитайте шаги и расшифровку ниже. Ответ: f'(x) = (e^x·cos(sin(x)) / 2 - sqrt(e^x + 1)²·sin(sin(x))·cos(x)) / sqrt(e^x + 1).

СкоростьЯзык

Главы

Транскрипт

Записанное видео: голос и текст на экране на английском языке. Субтитры: Русский. Чтобы включить озвучку на этом языке, откройте интерактивную версию.

Видео на английском: Скачать MP4 (0.6 MB) · Субтитры (WebVTT): Русский · Субтитры на английском (WebVTT)

Шаги на экране

1. Задача
Разобранный пример
$\frac{d}{dx}\left[\sqrt{{e}^{x}+1} \cos\left(\sin\left( x\right)\right)\right]$
2. Шаги, часть 1
1. $\frac{d}{dx}\left[\sqrt{{e}^{x}+1} \cos\left(\sin\left( x\right)\right)\right] = \frac{\frac{{e}^{x} \cos\left(\sin\left( x\right)\right)}{2}-{\sqrt{{e}^{x}+1}}^{2} \sin\left(\sin\left( x\right)\right) \cos\left( x\right)}{\sqrt{{e}^{x}+1}}$
  Производная произведения: (uv)′ = u′v + uv′
2. $\frac{d}{dx}\left[\cos\left(\sin\left( x\right)\right)\right] = -\left(\sin\left(\sin\left( x\right)\right) \cos\left( x\right)\right)$
  Цепное правило — d/dx[cos u] = −sin u · u′
3. $\frac{d}{dx}\left[\sin\left( x\right)\right] = \cos\left( x\right)$
  d/dx[sin x] = cos x
4. $\frac{d}{dx}\left[\sqrt{{e}^{x}+1}\right] = \frac{\frac{{e}^{x}}{2}}{\sqrt{{e}^{x}+1}}$
  Цепное правило — d/dx[√u] = u′/(2√u)
3. Шаги, часть 2
1. $\frac{d}{dx}\left[{e}^{x}+1\right] = {e}^{x}$
  Производная суммы: дифференцируем каждое слагаемое отдельно
2. $\frac{d}{dx}\left[{e}^{x}\right] = {e}^{x}$
  Производная показательной функции: d/dx[eᵘ] = eᵘ·u′
3. $f'(x) = \frac{\frac{{e}^{x} \cos\left(\sin\left( x\right)\right)}{2}-{\sqrt{{e}^{x}+1}}^{2} \sin\left(\sin\left( x\right)\right) \cos\left( x\right)}{\sqrt{{e}^{x}+1}}$
  Приводим подобные и упрощаем
4. Ответ
$f'(x) = \frac{\frac{{e}^{x} \cos\left(\sin\left( x\right)\right)}{2}-{\sqrt{{e}^{x}+1}}^{2} \sin\left(\sin\left( x\right)\right) \cos\left( x\right)}{\sqrt{{e}^{x}+1}}$
f'(x) = (e^x·cos(sin(x)) / 2 - sqrt(e^x + 1)²·sin(sin(x))·cos(x)) / sqrt(e^x + 1)
5. Проверка
- Сверено численно с независимой системой символьного дифференцирования в 8 контрольных точках ✓

Расшифровка

Задача. Вот задача: Производная (sqrt(e в степени x плюс 1))(cos(sin(x))). Найдите производную (sqrt(e в степени x плюс 1)) (cos(sin(x))) по x.

Шаги, часть 1. Производная произведения: (uv) штрих равно u штрих v плюс uv штрих. Цепное правило — производная по x[cos u] равно минус sin u умножить на u штрих. производная по x[sin x] равно cos x. Цепное правило — производная по x[квадратный корень из u] равно u штрих /(2квадратный корень из u.

Шаги, часть 2. Производная суммы: дифференцируем каждое слагаемое отдельно. Производная показательной функции: производная по x[eᵘ] равно eᵘ умножить на u штрих. Приводим подобные и упрощаем.

Ответ. Итак, ответ: f штрих от x равно (e в степени x умножить на cos(sin(x)) / 2 минус sqrt(e в степени x плюс 1) в квадрате умножить на sin(sin(x)) умножить на cos(x)) / sqrt(e в степени x плюс 1). Производная строится снаружи внутрь: сумма разбивается на слагаемые, постоянный множитель выносится, для произведений и частных действуют свои правила, а каждая сложная функция умножается на производную внутренней функции (правило дифференцирования сложной функции).

Проверка. Сверено численно с независимой системой символьного дифференцирования в 8 контрольных точках, что верно.

Шаги на экране

Расшифровка

Похожие уроки