ПроизводныеМатематический анализВуз≈ 1:00

Производная (x²+1)⁵

Анимированный пошаговый урок. Нажмите «Воспроизвести», чтобы смотреть шаги с субтитрами, или прочитайте шаги и расшифровку ниже. Ответ: f'(x) = 10(x² + 1)⁴x.

СкоростьЯзык

Главы

Транскрипт

Записанное видео: голос и текст на экране на английском языке. Субтитры: Русский. Чтобы включить озвучку на этом языке, откройте интерактивную версию.

Видео на английском: Скачать MP4 (0.4 MB) · Субтитры (WebVTT): Русский · Субтитры на английском (WebVTT)

Шаги на экране

1. Задача
Разобранный пример
$\frac{d}{dx}\left[{\left({x}^{2}+1\right)}^{5}\right]$
2. Пошагово
1. $\frac{d}{dx}\left[{\left({x}^{2}+1\right)}^{5}\right] = 10 {\left({x}^{2}+1\right)}^{4} x$
  Правило дифференцирования степенной функции с цепным правилом: d/dx[uⁿ] = n·uⁿ⁻¹·u′
2. $\frac{d}{dx}\left[{x}^{2}+1\right] = 2x$
  Производная суммы: дифференцируем каждое слагаемое отдельно
3. $\frac{d}{dx}\left[{x}^{2}\right] = 2x$
  Производная степени: d/dx[xⁿ] = n·xⁿ⁻¹
4. $f'(x) = 10 {\left({x}^{2}+1\right)}^{4} x$
  Приводим подобные и упрощаем
3. Ответ
$f'(x) = 10 {\left({x}^{2}+1\right)}^{4} x$
f'(x) = 10(x² + 1)⁴x
4. Проверка
- Сверено численно с независимой системой символьного дифференцирования в 8 контрольных точках ✓

Расшифровка

Задача. Вот задача: Производная (x в квадрате плюс 1) в степени 5. Найдите производную (x в квадрате плюс 1) в степени 5 по x.

Пошагово. Правило дифференцирования степенной функции с цепным правилом: производная по x[u в степени n] равно n умножить на u в степени n минус 1 умножить на u штрих. Производная суммы: дифференцируем каждое слагаемое отдельно. Производная степени: производная по x[x в степени n] равно n умножить на x в степени n минус 1. Приводим подобные и упрощаем.

Ответ. Итак, ответ: f штрих от x равно 10(x в квадрате плюс 1) в степени 4x. Производная строится снаружи внутрь: сумма разбивается на слагаемые, постоянный множитель выносится, для произведений и частных действуют свои правила, а каждая сложная функция умножается на производную внутренней функции (правило дифференцирования сложной функции).

Проверка. Сверено численно с независимой системой символьного дифференцирования в 8 контрольных точках, что верно.

Шаги на экране

Расшифровка

Похожие уроки