Перейти к содержимому
MathSolver Pro
  • Открыть решатель
  • Спросить ИИ-репетитора
  • Найти курс AP
  • Создать тест
  • Открыть калькулятор
  • Графический калькулятор
  • Все калькуляторы
  • Читать руководства по математике
↑ ↓Enter — открыть · Esc — закрыть
Решить задачу
Последовательности и рядыАлгебраВуз≈ 1:59

Вычислите сумму 1/n от n=1 до ∞

Анимированный пошаговый урок. Нажмите «Воспроизвести», чтобы смотреть шаги с субтитрами, или прочитайте шаги и расшифровку ниже. Ответ: Ряд расходится (предельный признак сравнения с Σ 1/n).

Записанное видео: голос и текст на экране на английском языке. Субтитры: Русский. Чтобы включить озвучку на этом языке, откройте интерактивную версию.

Видео на английском: Скачать MP4 (0.7 MB) · Субтитры (WebVTT): Русский · Субтитры на английском (WebVTT)

Шаги на экране

  1. 1. Задача
    Разобранный пример
    ∑n=1∞1n\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}
  2. 2. Пошагово
    1. ∑n=1∞1n\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}
      Записываем ряд
    2. lim⁡n→∞1n=0\lim_{n\to\infty} \frac{1}{n} = 0
      Необходимый признак сходимости
    3. lim⁡n→∞an1/n=1\lim_{n\to\infty} \frac{a_n}{1/n} = 1
      Предельный признак сравнения с обобщённым гармоническим рядом
  3. 3. Ответ
    ∑n=1∞1n расходится\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n} \ \text{расходится}

    limit comparison with Σ 1/n ⇒ diverges

  4. 4. Проверка
    • Частичные суммы (подтверждение, а не доказательство): S₁₀ = 2.9289683, S₁₀₀ = 5.1873775, S₁₀₀₀ = 7.4854709, S₁₀₀₀₀ = 9.787606

Расшифровка

Задача. Вот задача: Вычислите сумму 1/n от n равно 1 до бесконечность. Выясним, сходится или расходится Σ 1 / n (n от 1 до ∞).

Пошагово. Записываем ряд. Σ a(n) при n равно 1, 2, 3, … где a(n) равно 1 / n. Первые члены: 1, 0.5, 0.333333, 0.25, …. Необходимый признак сходимости. lim a(n) равно 0, поэтому необходимый признак ничего не решает; члены ряда действительно убывают, так что нужен более тонкий признак. Предельный признак сравнения с обобщённым гармоническим рядом. Положительные члены: члены убывают примерно как 1/n (оценка из a(2N)/a(N)), поэтому сравним с Σ 1/n: lim a(n) умножить на n равно 1. Предел — положительное конечное число, поэтому ряд ведет себя точно так же, как p-ряд Σ 1/n, который расходится, так как p меньше или равно 1.

Ответ. Итак, ответ: Ряд расходится (предельный признак сравнения с Σ 1/n). Ряд сходится, если его частичные суммы стремятся к конечному числу. Для этого члены ряда должны стремиться к 0, но одного этого недостаточно (гармонический ряд расходится), поэтому для ответа применяется признак сравнения, признак Д’Аламбера, радикальный признак Коши, признак Лейбница или интегральный признак.

Проверка. Частичные суммы (подтверждение, а не доказательство): S₁₀ равно 2.9289683, S₁₀₀ равно 5.1873775, S₁₀₀₀ равно 7.4854709, S₁₀₀₀₀ равно 9.787606.

Похожие уроки

Вычислите сумму 1/n от n=1 до ∞ — пошаговый видеоурок