Последовательности и рядыАлгебраВуз≈ 1:56

Вычислите сумму (-1)ⁿ/2ⁿ от n=0 до ∞

Анимированный пошаговый урок. Нажмите «Воспроизвести», чтобы смотреть шаги с субтитрами, или прочитайте шаги и расшифровку ниже. Ответ: Ряд сходится (геометрический ряд (|r| < 1)); сумма = 2/3.

СкоростьЯзык

Главы

Транскрипт

Записанное видео: голос и текст на экране на английском языке. Субтитры: Русский. Чтобы включить озвучку на этом языке, откройте интерактивную версию.

Видео на английском: Скачать MP4 (0.7 MB) · Субтитры (WebVTT): Русский · Субтитры на английском (WebVTT)

Шаги на экране

1. Задача
Разобранный пример
$\sum_{n=0}^{\infty} \frac{{\left(-1\right)}^{n}}{{2}^{n}}$
2. Пошагово
1. $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{{\left(-1\right)}^{n}}{{2}^{n}}$
  Записываем ряд
2. $S = \frac{a}{1-r} = \frac{2}{3}$
  Распознаём геометрический ряд
3. Ответ
$\sum_{n=0}^{\infty} \frac{{\left(-1\right)}^{n}}{{2}^{n}} \ \text{сходится} = \frac{2}{3}$
geometric series (|r| < 1) ⇒ converges, S = 2/3
4. Проверка
- Частичные суммы (подтверждение, а не доказательство): S₁₀ = 0.66601563, S₁₀₀ = 0.66666667, S₁₀₀₀ = 0.66666667, S₁₀₀₀₀ = 0.66666667

Расшифровка

Задача. Вот задача: Вычислите сумму (минус 1) в степени n/2 в степени n от n равно 0 до бесконечность. Выясним, сходится или расходится Σ (минус 1) в степени n / 2 в степени n (n от 0 до ∞).

Пошагово. Записываем ряд. Σ a(n) при n равно 0, 1, 2, … где a(n) равно (минус 1) в степени n / 2 в степени n. Первые члены: 1, минус 0.5, 0.25, минус 0.125, …. Распознаём геометрический ряд. Каждый член равен предыдущему, умноженному на r равно минус 1 делить на 2 (проверено для первых 40 членов), первый член a равно 1. Поскольку |r| меньше 1, ряд сходится, и его сумма равна a/(1 минус r) равно 2 делить на 3 приблизительно 0.6666666667.

Ответ. Итак, ответ: Ряд сходится (геометрический ряд (|r| меньше 1)); сумма равно 2 делить на 3. Ряд сходится, если его частичные суммы стремятся к конечному числу. Для этого члены ряда должны стремиться к 0, но одного этого недостаточно (гармонический ряд расходится), поэтому для ответа применяется признак сравнения, признак Д’Аламбера, радикальный признак Коши, признак Лейбница или интегральный признак.

Проверка. Частичные суммы (подтверждение, а не доказательство): S₁₀ равно 0.66601563, S₁₀₀ равно 0.66666667, S₁₀₀₀ равно 0.66666667, S₁₀₀₀₀ равно 0.66666667.

Шаги на экране

Расшифровка

Похожие уроки