Вычислите сумму n/2ⁿ от n=1 до ∞

Задача. Вот задача: Вычислите сумму n/2 в степени n от n равно 1 до бесконечность. Выясним, сходится или расходится Σ n / 2 в степени n (n от 1 до ∞).

Пошагово. Записываем ряд. Σ a(n) при n равно 1, 2, 3, … где a(n) равно n / 2 в степени n. Первые члены: 0.5, 0.5, 0.375, 0.25, …. Необходимый признак сходимости. lim a(n) равно 0, поэтому необходимый признак ничего не решает; члены ряда действительно убывают, так что нужен более тонкий признак. Признак Д’Аламбера. Положительные члены: a(n плюс 1)/a(n) упрощается до (n плюс 1) / 2 / n, а его предел при n → ∞ равен L равно 1 делить на 2. L меньше 1, поэтому ряд сходится (абсолютно). Оценить сумму численно. Частичные суммы S N вычислены для нескольких N и экстраполированы к N → ∞ (экстраполяция Ричардсона; для знакочередующихся членов сначала берётся среднее). Две независимые экстраполяции совпадают с точностью лучше 10 в степени минус 10 и дают S приблизительно 2. Показанная замкнутая форма — численное отождествление, а не доказательство.

Ответ. Итак, ответ: Ряд сходится (признак Даламбера); сумма приблизительно 2 (совпадает 2 с точностью до 10+ знаков). Ряд сходится, если его частичные суммы стремятся к конечному числу. Для этого члены ряда должны стремиться к 0, но одного этого недостаточно (гармонический ряд расходится), поэтому для ответа применяется признак сравнения, признак Д’Аламбера, радикальный признак Коши, признак Лейбница или интегральный признак.

Проверка. Частичные суммы (подтверждение, а не доказательство): S₁₀ равно 1.9882813, S₁₀₀ равно 2, S₁₀₀₀ равно 2, S₁₀₀₀₀ равно 2.