Перейти к содержимому
MathSolver Pro
  • Открыть решатель
  • Спросить ИИ-репетитора
  • Найти курс AP
  • Создать тест
  • Открыть калькулятор
  • Графический калькулятор
  • Все калькуляторы
  • Читать руководства по математике
↑ ↓Enter — открыть · Esc — закрыть
Решить задачу
Последовательности и рядыАлгебраВуз≈ 1:23

Вычислите сумму (1/2)ⁿ от n=0 до ∞

Анимированный пошаговый урок. Нажмите «Воспроизвести», чтобы смотреть шаги с субтитрами, или прочитайте шаги и расшифровку ниже. Ответ: Ряд сходится (геометрический ряд (|r| < 1)); сумма = 2.

Записанное видео: голос и текст на экране на английском языке. Субтитры: Русский. Чтобы включить озвучку на этом языке, откройте интерактивную версию.

Видео на английском: Скачать MP4 (0.5 MB) · Субтитры (WebVTT): Русский · Субтитры на английском (WebVTT)

Шаги на экране

  1. 1. Задача
    Разобранный пример
    ∑n=0∞(12)n\sum_{n=0}^{\infty} \left({\frac{1}{2}}\right)^{n}
  2. 2. Пошагово
    1. ∑n=0∞(12)n\sum_{n=0}^{\infty} \left({\frac{1}{2}}\right)^{n}
      Записываем ряд
    2. S=a1−r=2S = \frac{a}{1-r} = 2
      Распознаём геометрический ряд
  3. 3. Ответ
    ∑n=0∞(12)n сходится=2\sum_{n=0}^{\infty} \left({\frac{1}{2}}\right)^{n} \ \text{сходится} = 2

    geometric series (|r| < 1) ⇒ converges, S = 2

  4. 4. Проверка
    • Частичные суммы (подтверждение, а не доказательство): S₁₀ = 1.9980469, S₁₀₀ = 2, S₁₀₀₀ = 2, S₁₀₀₀₀ = 2

Расшифровка

Задача. Вот задача: Вычислите сумму (1 делить на 2) в степени n от n равно 0 до бесконечность. Выясним, сходится или расходится Σ (1 делить на 2) в степени n (n от 0 до ∞).

Пошагово. Записываем ряд. Σ a(n) при n равно 0, 1, 2, … где a(n) равно (1 делить на 2) в степени n. Первые члены: 1, 0.5, 0.25, 0.125, …. Распознаём геометрический ряд. Каждый член равен предыдущему, умноженному на r равно 1 делить на 2 (проверено для первых 40 членов), первый член a равно 1. Поскольку |r| меньше 1, ряд сходится, и его сумма равна a/(1 минус r) равно 2.

Ответ. Итак, ответ: Ряд сходится (геометрический ряд (|r| меньше 1)); сумма равно 2. Ряд сходится, если его частичные суммы стремятся к конечному числу. Для этого члены ряда должны стремиться к 0, но одного этого недостаточно (гармонический ряд расходится), поэтому для ответа применяется признак сравнения, признак Д’Аламбера, радикальный признак Коши, признак Лейбница или интегральный признак.

Проверка. Частичные суммы (подтверждение, а не доказательство): S₁₀ равно 1.9980469, S₁₀₀ равно 2, S₁₀₀₀ равно 2, S₁₀₀₀₀ равно 2.

Похожие уроки

Вычислите сумму (1/2)ⁿ от n=0 до ∞ — пошаговый видеоурок