Перейти к содержимому
MathSolver Pro
  • Открыть решатель
  • Спросить ИИ-репетитора
  • Найти курс AP
  • Создать тест
  • Открыть калькулятор
  • Графический калькулятор
  • Все калькуляторы
  • Читать руководства по математике
↑ ↓Enter — открыть · Esc — закрыть
Решить задачу
ПределыМатематический анализВуз≈ 2:18

Найдите lim x→0 (1-cos(3x))/x²

Анимированный пошаговый урок. Нажмите «Воспроизвести», чтобы смотреть шаги с субтитрами, или прочитайте шаги и расшифровку ниже. Ответ: Предел = 9/2 ≈ 4.5.

Записанное видео: голос и текст на экране на английском языке. Субтитры: Русский. Чтобы включить озвучку на этом языке, откройте интерактивную версию.

Видео на английском: Скачать MP4 (0.9 MB) · Субтитры (WebVTT): Русский · Субтитры на английском (WebVTT)

Шаги на экране

  1. 1. Задача
    Разобранный пример
    lim⁡x→01−cos⁡(3x)x2\lim_{x \to 0} \frac{1-\cos\left(3x\right)}{{x}^{2}}
  2. 2. Пошагово
    1. lim⁡x→01−cos⁡(3x)x2=lim⁡x→03sin⁡(3x)2x\lim_{x \to 0} \frac{1-\cos\left(3x\right)}{{x}^{2}} = \lim_{x \to 0} \frac{3\sin\left(3x\right)}{2x}
      Неопределённость 0/0 — применяем правило Лопиталя
    2. lim⁡x→03sin⁡(3x)2x=lim⁡x→09cos⁡(3x)2\lim_{x \to 0} \frac{3\sin\left(3x\right)}{2x} = \lim_{x \to 0} \frac{9\cos\left(3x\right)}{2}
      Неопределённость 0/0 — применяем правило Лопиталя
    3. lim⁡x→09cos⁡(3x)2=9cos⁡(3(0))2=92≈4.5\lim_{x \to 0} \frac{9\cos\left(3x\right)}{2} = \frac{9\cos\left(3\left(0\right)\right)}{2} = \frac{9}{2} \approx 4.5
      Непосредственная подстановка
  3. 3. Ответ
    lim⁡x→01−cos⁡(3x)x2=92≈4.5\lim_{x \to 0} \frac{1-\cos\left(3x\right)}{{x}^{2}} = \frac{9}{2} \approx 4.5

    lim x→0 (1 - cos(3x)) / x² = 9/2 ≈ 4.5

  4. 4. Проверка
    • Численные значения справа совпадают: f(0.01) = 4.4996625, f(0.001) = 4.4999966, f(0.0001) = 4.5, f(0.00001) = 4.5000004 ✓
    • Численные значения слева совпадают: f(-0.01) = 4.4996625, f(-0.001) = 4.4999966, f(-0.0001) = 4.5, f(-0.00001) = 4.5000004 ✓

Расшифровка

Задача. Вот задача: Найдите lim x- больше 0 (1-cos(3x))/x в квадрате. Найдём предел (1 минус cos(3x)) / x в квадрате при x → 0.

Пошагово. Неопределённость 0 делить на 0 — применяем правило Лопиталя. Дифференцируем числитель и знаменатель по отдельности (это не правило дифференцирования частного). Неопределённость 0 делить на 0 — применяем правило Лопиталя. Дифференцируем числитель и знаменатель по отдельности (это не правило дифференцирования частного). Непосредственная подстановка. Выражение непрерывно в точке x равно 0, поэтому предел равен его значению в этой точке.

Ответ. Итак, ответ: Предел равно 9 делить на 2 приблизительно 4.5. Предел описывает значение, к которому стремится функция, а не обязательно значение, которое она принимает. Если подстановка даёт неопределённость, выражение преобразуют (правило Лопиталя, домножение на сопряжённое или логарифмирование), пока подстановка не сработает.

Проверка. Численные значения справа совпадают: f(0.01) равно 4.4996625, f(0.001) равно 4.4999966, f(0.0001) равно 4.5, f(0.00001) равно 4.5000004, что верно. Численные значения слева совпадают: f(минус 0.01) равно 4.4996625, f(минус 0.001) равно 4.4999966, f(минус 0.0001) равно 4.5, f(минус 0.00001) равно 4.5000004, что верно.

Похожие уроки

Найдите lim x→0 (1-cos(3x))/x² — пошаговый видеоурок