Перейти к содержимому
MathSolver Pro
  • Открыть решатель
  • Спросить ИИ-репетитора
  • Найти курс AP
  • Создать тест
  • Открыть калькулятор
  • Графический калькулятор
  • Все калькуляторы
  • Читать руководства по математике
↑ ↓Enter — открыть · Esc — закрыть
Решить задачу
ПределыМатематический анализВуз≈ 1:49

Найдите lim x→∞ (x² + 1)/(x + 1)

Анимированный пошаговый урок. Нажмите «Воспроизвести», чтобы смотреть шаги с субтитрами, или прочитайте шаги и расшифровку ниже. Ответ: Предел = ∞.

Записанное видео: голос и текст на экране на английском языке. Субтитры: Русский. Чтобы включить озвучку на этом языке, откройте интерактивную версию.

Видео на английском: Скачать MP4 (0.6 MB) · Субтитры (WebVTT): Русский · Субтитры на английском (WebVTT)

Шаги на экране

  1. 1. Задача
    Разобранный пример
    lim⁡x→∞x2+1x+1\lim_{x \to \infty} \frac{{x}^{2}+1}{x+1}
  2. 2. Пошагово
    1. lim⁡x→∞x2+1x+1=lim⁡x→∞2x1\lim_{x \to \infty} \frac{{x}^{2}+1}{x+1} = \lim_{x \to \infty} \frac{2x}{1}
      Неопределённость ∞/∞ — применяем правило Лопиталя
    2. lim⁡x→∞2x1=lim⁡x→∞2x\lim_{x \to \infty} \frac{2x}{1} = \lim_{x \to \infty} 2x
      Сокращаем
    3. lim⁡x→∞2x=∞\lim_{x \to \infty} 2x = \infty
      Выражение неограниченно возрастает
    4. Вывод
  3. 3. Ответ
    lim⁡x→∞x2+1x+1=∞\lim_{x \to \infty} \frac{{x}^{2}+1}{x+1} = \infty

    lim x→∞ (x² + 1) / (x + 1) = ∞

  4. 4. Проверка
    • Численные значения при возрастании x совпадают: f(127.18281) = 126.19841, f(1271.8281) = 1270.8297, f(12718.281) = 12717.281, f(127182.81) = 127181.81 ✓

Расшифровка

Задача. Вот задача: Найдите lim x- больше бесконечность (x в квадрате плюс 1)/(x плюс 1). Найдём предел (x в квадрате плюс 1) / (x плюс 1) при x → ∞.

Пошагово. Неопределённость ∞/∞ — применяем правило Лопиталя. Дифференцируем числитель и знаменатель по отдельности (это не правило дифференцирования частного). Сокращаем. Выражение неограниченно возрастает. При x → ∞ значения неограниченно возрастают. Вывод. Функция неограничена, поэтому предел равен +∞ (строго говоря, предела как действительного числа не существует; функция расходится к +∞).

Ответ. Итак, ответ: Предел равно ∞. Предел описывает значение, к которому стремится функция, а не обязательно значение, которое она принимает. Если подстановка даёт неопределённость, выражение преобразуют (правило Лопиталя, домножение на сопряжённое или логарифмирование), пока подстановка не сработает.

Проверка. Численные значения при возрастании x совпадают: f(127.18281) равно 126.19841, f(1271.8281) равно 1270.8297, f(12718.281) равно 12717.281, f(127182.81) равно 127181.81, что верно.

Похожие уроки

Найдите lim x→∞ (x² + 1)/(x + 1) — пошаговый видеоурок