Перейти к содержимому
MathSolver Pro
  • Открыть решатель
  • Спросить ИИ-репетитора
  • Найти курс AP
  • Создать тест
  • Открыть калькулятор
  • Графический калькулятор
  • Все калькуляторы
  • Читать руководства по математике
↑ ↓Enter — открыть · Esc — закрыть
Решить задачу
ПределыМатематический анализВуз≈ 2:02

Найдите lim x→0 sin(4x)/(2x)

Анимированный пошаговый урок. Нажмите «Воспроизвести», чтобы смотреть шаги с субтитрами, или прочитайте шаги и расшифровку ниже. Ответ: Предел = 2.

Записанное видео: голос и текст на экране на английском языке. Субтитры: Русский. Чтобы включить озвучку на этом языке, откройте интерактивную версию.

Видео на английском: Скачать MP4 (0.7 MB) · Субтитры (WebVTT): Русский · Субтитры на английском (WebVTT)

Шаги на экране

  1. 1. Задача
    Разобранный пример
    lim⁡x→0sin⁡(4x)2x\lim_{x \to 0} \frac{\sin\left(4x\right)}{2x}
  2. 2. Пошагово
    1. lim⁡x→0sin⁡(4x)2x=lim⁡x→04cos⁡(4x)2\lim_{x \to 0} \frac{\sin\left(4x\right)}{2x} = \lim_{x \to 0} \frac{4\cos\left(4x\right)}{2}
      Неопределённость 0/0 — применяем правило Лопиталя
    2. lim⁡x→04cos⁡(4x)2=lim⁡x→02cos⁡(4x)\lim_{x \to 0} \frac{4\cos\left(4x\right)}{2} = \lim_{x \to 0} 2\cos\left(4x\right)
      Сокращаем
    3. lim⁡x→02cos⁡(4x)=2cos⁡(4(0))=2\lim_{x \to 0} 2\cos\left(4x\right) = 2\cos\left(4\left(0\right)\right) = 2
      Непосредственная подстановка
  3. 3. Ответ
    lim⁡x→0sin⁡(4x)2x=2\lim_{x \to 0} \frac{\sin\left(4x\right)}{2x} = 2

    lim x→0 sin(4 x) / (2 x) = 2

  4. 4. Проверка
    • Численные значения справа совпадают: f(0.01) = 1.9994667, f(0.001) = 1.9999947, f(0.0001) = 1.9999999, f(0.00001) = 2 ✓
    • Численные значения слева совпадают: f(-0.01) = 1.9994667, f(-0.001) = 1.9999947, f(-0.0001) = 1.9999999, f(-0.00001) = 2 ✓

Расшифровка

Задача. Вот задача: Найдите lim x- больше 0 sin(4x)/(2x). Найдём предел sin(4 x) / (2 x) при x → 0.

Пошагово. Неопределённость 0 делить на 0 — применяем правило Лопиталя. Дифференцируем числитель и знаменатель по отдельности (это не правило дифференцирования частного). Сокращаем. Непосредственная подстановка. Выражение непрерывно в точке x равно 0, поэтому предел равен его значению в этой точке.

Ответ. Итак, ответ: Предел равно 2. Предел описывает значение, к которому стремится функция, а не обязательно значение, которое она принимает. Если подстановка даёт неопределённость, выражение преобразуют (правило Лопиталя, домножение на сопряжённое или логарифмирование), пока подстановка не сработает.

Проверка. Численные значения справа совпадают: f(0.01) равно 1.9994667, f(0.001) равно 1.9999947, f(0.0001) равно 1.9999999, f(0.00001) равно 2, что верно. Численные значения слева совпадают: f(минус 0.01) равно 1.9994667, f(минус 0.001) равно 1.9999947, f(минус 0.0001) равно 1.9999999, f(минус 0.00001) равно 2, что верно.

Похожие уроки

Найдите lim x→0 sin(4x)/(2x) — пошаговый видеоурок