Перейти к содержимому
MathSolver Pro
  • Открыть решатель
  • Спросить ИИ-репетитора
  • Найти курс AP
  • Создать тест
  • Открыть калькулятор
  • Графический калькулятор
  • Все калькуляторы
  • Читать руководства по математике
↑ ↓Enter — открыть · Esc — закрыть
Решить задачу
ПределыМатематический анализВуз≈ 2:27

Найдите lim x→0 (1-cos(x))/x²

Анимированный пошаговый урок. Нажмите «Воспроизвести», чтобы смотреть шаги с субтитрами, или прочитайте шаги и расшифровку ниже. Ответ: Предел = 1/2 ≈ 0.5.

Записанное видео: голос и текст на экране на английском языке. Субтитры: Русский. Чтобы включить озвучку на этом языке, откройте интерактивную версию.

Видео на английском: Скачать MP4 (0.9 MB) · Субтитры (WebVTT): Русский · Субтитры на английском (WebVTT)

Шаги на экране

  1. 1. Задача
    Разобранный пример
    lim⁡x→01−cos⁡(x)x2\lim_{x \to 0} \frac{1-\cos\left( x\right)}{{x}^{2}}
  2. 2. Пошагово
    1. lim⁡x→01−cos⁡(x)x2=lim⁡x→0sin⁡(x)2x\lim_{x \to 0} \frac{1-\cos\left( x\right)}{{x}^{2}} = \lim_{x \to 0} \frac{\sin\left( x\right)}{2x}
      Неопределённость 0/0 — применяем правило Лопиталя
    2. lim⁡x→0sin⁡(x)2x=lim⁡x→0cos⁡(x)2\lim_{x \to 0} \frac{\sin\left( x\right)}{2x} = \lim_{x \to 0} \frac{\cos\left( x\right)}{2}
      Неопределённость 0/0 — применяем правило Лопиталя
    3. lim⁡x→0cos⁡(x)2=lim⁡x→0cos⁡(x)2\lim_{x \to 0} \frac{\cos\left( x\right)}{2} = \lim_{x \to 0} \frac{\cos\left( x\right)}{2}
      Сокращаем
    4. lim⁡x→0cos⁡(x)2=cos⁡(0)2=12≈0.5\lim_{x \to 0} \frac{\cos\left( x\right)}{2} = \frac{\cos\left(0\right)}{2} = \frac{1}{2} \approx 0.5
      Непосредственная подстановка
  3. 3. Ответ
    lim⁡x→01−cos⁡(x)x2=12≈0.5\lim_{x \to 0} \frac{1-\cos\left( x\right)}{{x}^{2}} = \frac{1}{2} \approx 0.5

    lim x→0 (1 - cos(x)) / x² = 1/2 ≈ 0.5

  4. 4. Проверка
    • Численные значения справа: f(0.01) = 0.49999583, f(0.001) = 0.49999996, f(0.0001) = 0.5, f(0.00001) = 0.50000004 (нет четкой тенденции при данной точности)
    • Численные значения слева: f(-0.01) = 0.49999583, f(-0.001) = 0.49999996, f(-0.0001) = 0.5, f(-0.00001) = 0.50000004 (нет четкой тенденции при данной точности)

Расшифровка

Задача. Вот задача: Найдите lim x- больше 0 (1-cos(x))/x в квадрате. Найдём предел (1 минус cos(x)) / x в квадрате при x → 0.

Пошагово. Неопределённость 0 делить на 0 — применяем правило Лопиталя. Дифференцируем числитель и знаменатель по отдельности (это не правило дифференцирования частного). Неопределённость 0 делить на 0 — применяем правило Лопиталя. Дифференцируем числитель и знаменатель по отдельности (это не правило дифференцирования частного). Сокращаем. Непосредственная подстановка. Выражение непрерывно в точке x равно 0, поэтому предел равен его значению в этой точке.

Ответ. Итак, ответ: Предел равно 1 делить на 2 приблизительно 0.5. Предел описывает значение, к которому стремится функция, а не обязательно значение, которое она принимает. Если подстановка даёт неопределённость, выражение преобразуют (правило Лопиталя, домножение на сопряжённое или логарифмирование), пока подстановка не сработает.

Проверка. Численные значения справа: f(0.01) равно 0.49999583, f(0.001) равно 0.49999996, f(0.0001) равно 0.5, f(0.00001) равно 0.50000004 (нет четкой тенденции при данной точности). Численные значения слева: f(минус 0.01) равно 0.49999583, f(минус 0.001) равно 0.49999996, f(минус 0.0001) равно 0.5, f(минус 0.00001) равно 0.50000004 (нет четкой тенденции при данной точности).

Похожие уроки

Найдите lim x→0 (1-cos(x))/x² — пошаговый видеоурок