Перейти к содержимому
MathSolver Pro
  • Открыть решатель
  • Спросить ИИ-репетитора
  • Найти курс AP
  • Создать тест
  • Открыть калькулятор
  • Графический калькулятор
  • Все калькуляторы
  • Читать руководства по математике
↑ ↓Enter — открыть · Esc — закрыть
Решить задачу
ПределыМатематический анализВуз≈ 2:28

Найдите lim x→0 (tan(x) - sin(x))/x³

Анимированный пошаговый урок. Нажмите «Воспроизвести», чтобы смотреть шаги с субтитрами, или прочитайте шаги и расшифровку ниже. Ответ: Предел = 1/2 ≈ 0.5.

Записанное видео: голос и текст на экране на английском языке. Субтитры: Русский. Чтобы включить озвучку на этом языке, откройте интерактивную версию.

Видео на английском: Скачать MP4 (1.0 MB) · Субтитры (WebVTT): Русский · Субтитры на английском (WebVTT)

Шаги на экране

  1. 1. Задача
    Разобранный пример
    lim⁡x→0tan⁡(x)−sin⁡(x)x3\lim_{x \to 0} \frac{\tan\left( x\right)-\sin\left( x\right)}{{x}^{3}}
  2. 2. Пошагово
    1. lim⁡x→0tan⁡(x)−sin⁡(x)x3=lim⁡x→0sec⁡(x)2−cos⁡(x)3x2\lim_{x \to 0} \frac{\tan\left( x\right)-\sin\left( x\right)}{{x}^{3}} = \lim_{x \to 0} \frac{{\sec\left( x\right)}^{2}-\cos\left( x\right)}{3{x}^{2}}
      Неопределённость 0/0 — применяем правило Лопиталя
    2. lim⁡x→0sec⁡(x)2−cos⁡(x)3x2=lim⁡x→02sec⁡(x)2tan⁡(x)+sin⁡(x)6x\lim_{x \to 0} \frac{{\sec\left( x\right)}^{2}-\cos\left( x\right)}{3{x}^{2}} = \lim_{x \to 0} \frac{2 {\sec\left( x\right)}^{2} \tan\left( x\right)+\sin\left( x\right)}{6x}
      Неопределённость 0/0 — применяем правило Лопиталя
    3. lim⁡x→02sec⁡(x)2tan⁡(x)+sin⁡(x)6x=lim⁡x→04tan⁡(x)2sec⁡(x)2+2sec⁡(x)4+cos⁡(x)6\lim_{x \to 0} \frac{2 {\sec\left( x\right)}^{2} \tan\left( x\right)+\sin\left( x\right)}{6x} = \lim_{x \to 0} \frac{4 {\tan\left( x\right)}^{2} {\sec\left( x\right)}^{2}+2 {\sec\left( x\right)}^{4}+\cos\left( x\right)}{6}
      Неопределённость 0/0 — применяем правило Лопиталя
    4. lim⁡x→04tan⁡(x)2sec⁡(x)2+2sec⁡(x)4+cos⁡(x)6=4tan⁡(0)2sec⁡(0)2+2sec⁡(0)4+cos⁡(0)6=12≈0.5\lim_{x \to 0} \frac{4 {\tan\left( x\right)}^{2} {\sec\left( x\right)}^{2}+2 {\sec\left( x\right)}^{4}+\cos\left( x\right)}{6} = \frac{4 {\tan\left(0\right)}^{2} {\sec\left(0\right)}^{2}+2 {\sec\left(0\right)}^{4}+\cos\left(0\right)}{6} = \frac{1}{2} \approx 0.5
      Непосредственная подстановка
  3. 3. Ответ
    lim⁡x→0tan⁡(x)−sin⁡(x)x3=12≈0.5\lim_{x \to 0} \frac{\tan\left( x\right)-\sin\left( x\right)}{{x}^{3}} = \frac{1}{2} \approx 0.5

    lim x→0 (tan(x) - sin(x)) / x³ = 1/2 ≈ 0.5

  4. 4. Проверка
    • Численные значения справа: f(0.01) = 0.5000125, f(0.001) = 0.50000013, f(0.0001) = 0.5, f(0.00001) = 0.50000016 (нет четкой тенденции при данной точности)
    • Численные значения слева: f(-0.01) = 0.5000125, f(-0.001) = 0.50000013, f(-0.0001) = 0.5, f(-0.00001) = 0.50000016 (нет четкой тенденции при данной точности)

Расшифровка

Задача. Вот задача: Найдите lim x- больше 0 (tan(x) минус sin(x))/x в кубе. Найдём предел (tan(x) минус sin(x)) / x в кубе при x → 0.

Пошагово. Неопределённость 0 делить на 0 — применяем правило Лопиталя. Дифференцируем числитель и знаменатель по отдельности (это не правило дифференцирования частного). Неопределённость 0 делить на 0 — применяем правило Лопиталя. Дифференцируем числитель и знаменатель по отдельности (это не правило дифференцирования частного). Неопределённость 0 делить на 0 — применяем правило Лопиталя. Дифференцируем числитель и знаменатель по отдельности (это не правило дифференцирования частного). Непосредственная подстановка. Выражение непрерывно в точке x равно 0, поэтому предел равен его значению в этой точке.

Ответ. Итак, ответ: Предел равно 1 делить на 2 приблизительно 0.5. Предел описывает значение, к которому стремится функция, а не обязательно значение, которое она принимает. Если подстановка даёт неопределённость, выражение преобразуют (правило Лопиталя, домножение на сопряжённое или логарифмирование), пока подстановка не сработает.

Проверка. Численные значения справа: f(0.01) равно 0.5000125, f(0.001) равно 0.50000013, f(0.0001) равно 0.5, f(0.00001) равно 0.50000016 (нет четкой тенденции при данной точности). Численные значения слева: f(минус 0.01) равно 0.5000125, f(минус 0.001) равно 0.50000013, f(минус 0.0001) равно 0.5, f(минус 0.00001) равно 0.50000016 (нет четкой тенденции при данной точности).

Похожие уроки

Найдите lim x→0 (tan(x) - sin(x))/x³ — пошаговый видеоурок