Перейти к содержимому
MathSolver Pro
  • Открыть решатель
  • Спросить ИИ-репетитора
  • Найти курс AP
  • Создать тест
  • Открыть калькулятор
  • Графический калькулятор
  • Все калькуляторы
  • Читать руководства по математике
↑ ↓Enter — открыть · Esc — закрыть
Решить задачу
ПределыМатематический анализВуз≈ 2:25

Найдите lim x→0 ln(1+3x)/x

Анимированный пошаговый урок. Нажмите «Воспроизвести», чтобы смотреть шаги с субтитрами, или прочитайте шаги и расшифровку ниже. Ответ: Предел = 3.

Записанное видео: голос и текст на экране на английском языке. Субтитры: Русский. Чтобы включить озвучку на этом языке, откройте интерактивную версию.

Видео на английском: Скачать MP4 (0.9 MB) · Субтитры (WebVTT): Русский · Субтитры на английском (WebVTT)

Шаги на экране

  1. 1. Задача
    Разобранный пример
    lim⁡x→0ln⁡(1+3x)x\lim_{x \to 0} \frac{\ln\left(1+3x\right)}{x}
  2. 2. Пошагово
    1. lim⁡x→0ln⁡(1+3x)x=lim⁡x→033x+11\lim_{x \to 0} \frac{\ln\left(1+3x\right)}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{3}{3x+1}}{1}
      Неопределённость 0/0 — применяем правило Лопиталя
    2. lim⁡x→033x+11=lim⁡x→033x+1\lim_{x \to 0} \frac{\frac{3}{3x+1}}{1} = \lim_{x \to 0} \frac{3}{3x+1}
      Сокращаем
    3. lim⁡x→033x+1=33(0)+1=3\lim_{x \to 0} \frac{3}{3x+1} = \frac{3}{3\left(0\right)+1} = 3
      Непосредственная подстановка
  3. 3. Ответ
    lim⁡x→0ln⁡(1+3x)x=3\lim_{x \to 0} \frac{\ln\left(1+3x\right)}{x} = 3

    lim x→0 ln(1 + 3 x) / x = 3

  4. 4. Проверка
    • Численные значения справа: f(0.01) = 2.9558802, f(0.001) = 2.995509, f(0.0001) = 2.9995501, f(0.00001) = 2.999955 (нет четкой тенденции при данной точности)
    • Численные значения слева: f(-0.01) = 3.0459207, f(-0.001) = 3.004509, f(-0.0001) = 3.0004501, f(-0.00001) = 3.000045 (нет четкой тенденции при данной точности)

Расшифровка

Задача. Вот задача: Найдите lim x- больше 0 ln(1 плюс 3x)/x. Найдём предел ln(1 плюс 3 x) / x при x → 0.

Пошагово. Неопределённость 0 делить на 0 — применяем правило Лопиталя. Дифференцируем числитель и знаменатель по отдельности (это не правило дифференцирования частного). Сокращаем. Непосредственная подстановка. Выражение непрерывно в точке x равно 0, поэтому предел равен его значению в этой точке.

Ответ. Итак, ответ: Предел равно 3. Предел описывает значение, к которому стремится функция, а не обязательно значение, которое она принимает. Если подстановка даёт неопределённость, выражение преобразуют (правило Лопиталя, домножение на сопряжённое или логарифмирование), пока подстановка не сработает.

Проверка. Численные значения справа: f(0.01) равно 2.9558802, f(0.001) равно 2.995509, f(0.0001) равно 2.9995501, f(0.00001) равно 2.999955 (нет четкой тенденции при данной точности). Численные значения слева: f(минус 0.01) равно 3.0459207, f(минус 0.001) равно 3.004509, f(минус 0.0001) равно 3.0004501, f(минус 0.00001) равно 3.000045 (нет четкой тенденции при данной точности).

Похожие уроки

Найдите lim x→0 ln(1+3x)/x — пошаговый видеоурок