ПределыМатематический анализВуз≈ 2:14

Найдите lim x→∞ √(x² + 4x) - x

Анимированный пошаговый урок. Нажмите «Воспроизвести», чтобы смотреть шаги с субтитрами, или прочитайте шаги и расшифровку ниже. Ответ: Предел = 2.

СкоростьЯзык

Главы

Транскрипт

Записанное видео: голос и текст на экране на английском языке. Субтитры: Русский. Чтобы включить озвучку на этом языке, откройте интерактивную версию.

Видео на английском: Скачать MP4 (0.8 MB) · Субтитры (WebVTT): Русский · Субтитры на английском (WebVTT)

Шаги на экране

1. Задача
Разобранный пример
$\lim_{x \to \infty} \sqrt{{x}^{2}+4x}- x$
2. Пошагово
1. $\lim_{x \to \infty} \sqrt{{x}^{2}+4x}- x = \lim_{x \to \infty} \frac{{\sqrt{{x}^{2}+4x}}^{2}-{x}^{2}}{\sqrt{{x}^{2}+4x}+ x}$
  Неопределённость ∞ − ∞ — перепишем
2. $\lim_{x \to \infty} \frac{{\sqrt{{x}^{2}+4x}}^{2}-{x}^{2}}{\sqrt{{x}^{2}+4x}+ x} = \lim_{x \to \infty} \frac{4}{\frac{\frac{2x+4}{2}}{\sqrt{{x}^{2}+4x}}+1}$
  Неопределённость ∞/∞ — применяем правило Лопиталя
3. $\lim_{x \to \infty} \frac{4}{\frac{\frac{2x+4}{2}}{\sqrt{{x}^{2}+4x}}+1} = 2$
  Оценим предельное поведение
4. $\lim_{x \to \infty} \sqrt{{x}^{2}+4x}- x = 2$
  Определим значение
3. Ответ
$\lim_{x \to \infty} \sqrt{{x}^{2}+4x}- x = 2$
lim x→∞ sqrt(x² + 4 x) - x = 2
4. Проверка
- Численные значения при возрастании x совпадают: f(127.18281) = 1.9845171, f(1271.8281) = 1.9984299, f(12718.281) = 1.9998428, f(127182.81) = 1.9999843 ✓

Расшифровка

Задача. Вот задача: Найдите lim x- больше бесконечность sqrt(x в квадрате плюс 4x) минус x. Найдём предел sqrt(x в квадрате плюс 4 x) минус x при x → ∞.

Пошагово. Неопределённость ∞ минус ∞ — перепишем. Умножим на сопряжённое выражение: (u минус v)(u плюс v)/(u плюс v) равно (u в квадрате минус v в квадрате)/(u плюс v). Неопределённость ∞/∞ — применяем правило Лопиталя. Дифференцируем числитель и знаменатель по отдельности (это не правило дифференцирования частного). Оценим предельное поведение. Предел определяется доминирующим поведением каждого слагаемого. Определим значение. Преобразованное выражение стремится к 2, что равно 2 с точностью до 10 в степени минус 6; сходящиеся численные значения ниже подтверждают это.

Ответ. Итак, ответ: Предел равно 2. Предел описывает значение, к которому стремится функция, а не обязательно значение, которое она принимает. Если подстановка даёт неопределённость, выражение преобразуют (правило Лопиталя, домножение на сопряжённое или логарифмирование), пока подстановка не сработает.

Проверка. Численные значения при возрастании x совпадают: f(127.18281) равно 1.9845171, f(1271.8281) равно 1.9984299, f(12718.281) равно 1.9998428, f(127182.81) равно 1.9999843, что верно.

Шаги на экране

Расшифровка

Похожие уроки