Перейти к содержимому
MathSolver Pro
  • Открыть решатель
  • Спросить ИИ-репетитора
  • Найти курс AP
  • Создать тест
  • Открыть калькулятор
  • Графический калькулятор
  • Все калькуляторы
  • Читать руководства по математике
↑ ↓Enter — открыть · Esc — закрыть
Решить задачу
ПределыМатематический анализВуз≈ 2:11

Найдите lim x→0 (e^(3x)-1)/sin(x)

Анимированный пошаговый урок. Нажмите «Воспроизвести», чтобы смотреть шаги с субтитрами, или прочитайте шаги и расшифровку ниже. Ответ: Предел = 3.

Записанное видео: голос и текст на экране на английском языке. Субтитры: Русский. Чтобы включить озвучку на этом языке, откройте интерактивную версию.

Видео на английском: Скачать MP4 (0.8 MB) · Субтитры (WebVTT): Русский · Субтитры на английском (WebVTT)

Шаги на экране

  1. 1. Задача
    Разобранный пример
    lim⁡x→0e3x−1sin⁡(x)\lim_{x \to 0} \frac{{e}^{3x}-1}{\sin\left( x\right)}
  2. 2. Пошагово
    1. lim⁡x→0e3x−1sin⁡(x)=lim⁡x→03e3xcos⁡(x)\lim_{x \to 0} \frac{{e}^{3x}-1}{\sin\left( x\right)} = \lim_{x \to 0} \frac{3{e}^{3x}}{\cos\left( x\right)}
      Неопределённость 0/0 — применяем правило Лопиталя
    2. lim⁡x→03e3xcos⁡(x)=3e3(0)cos⁡(0)=3\lim_{x \to 0} \frac{3{e}^{3x}}{\cos\left( x\right)} = \frac{3{e}^{3\left(0\right)}}{\cos\left(0\right)} = 3
      Непосредственная подстановка
  3. 3. Ответ
    lim⁡x→0e3x−1sin⁡(x)=3\lim_{x \to 0} \frac{{e}^{3x}-1}{\sin\left( x\right)} = 3

    lim x→0 (e^(3x) - 1) / sin(x) = 3

  4. 4. Проверка
    • Численные значения справа совпадают: f(0.01) = 3.0455042, f(0.001) = 3.004505, f(0.0001) = 3.0004501, f(0.00001) = 3.000045 ✓
    • Численные значения слева совпадают: f(-0.01) = 2.9554959, f(-0.001) = 2.995505, f(-0.0001) = 2.99955, f(-0.00001) = 2.999955 ✓

Расшифровка

Задача. Вот задача: Найдите lim x- больше 0 (e в степени 3x минус 1)/sin(x). Найдём предел (e в степени 3x минус 1) / sin(x) при x → 0.

Пошагово. Неопределённость 0 делить на 0 — применяем правило Лопиталя. Дифференцируем числитель и знаменатель по отдельности (это не правило дифференцирования частного). Непосредственная подстановка. Выражение непрерывно в точке x равно 0, поэтому предел равен его значению в этой точке.

Ответ. Итак, ответ: Предел равно 3. Предел описывает значение, к которому стремится функция, а не обязательно значение, которое она принимает. Если подстановка даёт неопределённость, выражение преобразуют (правило Лопиталя, домножение на сопряжённое или логарифмирование), пока подстановка не сработает.

Проверка. Численные значения справа совпадают: f(0.01) равно 3.0455042, f(0.001) равно 3.004505, f(0.0001) равно 3.0004501, f(0.00001) равно 3.000045, что верно. Численные значения слева совпадают: f(минус 0.01) равно 2.9554959, f(минус 0.001) равно 2.995505, f(минус 0.0001) равно 2.99955, f(минус 0.00001) равно 2.999955, что верно.

Похожие уроки

Найдите lim x→0 (e^(3x)-1)/sin(x) — пошаговый видеоурок