Перейти к содержимому
MathSolver Pro
  • Открыть решатель
  • Спросить ИИ-репетитора
  • Найти курс AP
  • Создать тест
  • Открыть калькулятор
  • Графический калькулятор
  • Все калькуляторы
  • Читать руководства по математике
↑ ↓Enter — открыть · Esc — закрыть
Решить задачу
МатрицыЛинейная алгебраВуз≈ 1:11

Найдите собственные значения матрицы [2 0 0; 0 3 4; 0 4 9]

Анимированный пошаговый урок. Нажмите «Воспроизвести», чтобы смотреть шаги с субтитрами, или прочитайте шаги и расшифровку ниже. Ответ: λ = 11, 2, 1.

Записанное видео: голос и текст на экране на английском языке. Субтитры: Русский. Чтобы включить озвучку на этом языке, откройте интерактивную версию.

Исходная задача (на английском): Найдите собственные значения матрицы [2 0 0; 0 3 4; 0 4 9]

Видео на английском: Скачать MP4 (0.5 MB) · Субтитры (WebVTT): Русский · Субтитры на английском (WebVTT)

Шаги на экране

  1. 1. Задача
    Разобранный пример
    Найдите собственные значения матрицы [2 0 0; 0 3 4; 0 4 9]
  2. 2. Шаги, часть 1
    1. det⁡(λI−A)=0,A=[200034049]\det(\lambda I - A) = 0,\quad A = \begin{bmatrix}2 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 4 \\ 0 & 4 & 9\end{bmatrix}
      Составляем характеристическое уравнение
    2. p(λ)=λ3−14λ2+35λ−22p(\lambda) = \lambda^{3} - 14\lambda^{2} + 35\lambda - 22
      Характеристический многочлен
    3. λ=1, λ=2, λ=11\lambda = 1,\ \lambda = 2,\ \lambda = 11
      Рациональные корни найдены по теореме о рациональных корнях
    4. [−9000−8404−2] v=0⇒v=⟨0,1,2⟩\begin{bmatrix}-9 & 0 & 0 \\ 0 & -8 & 4 \\ 0 & 4 & -2\end{bmatrix}\,v = 0 \Rightarrow v = \langle 0, 1, 2 \rangle
      Собственные векторы для λ = 11: решаем (A − λI)v = 0
  3. 3. Шаги, часть 2
    1. [000014047] v=0⇒v=⟨1,0,0⟩\begin{bmatrix}0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 4 \\ 0 & 4 & 7\end{bmatrix}\,v = 0 \Rightarrow v = \langle 1, 0, 0 \rangle
      Собственные векторы для λ = 2: решаем (A − λI)v = 0
    2. [100024048] v=0⇒v=⟨0,−2,1⟩\begin{bmatrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 4 \\ 0 & 4 & 8\end{bmatrix}\,v = 0 \Rightarrow v = \langle 0, -2, 1 \rangle
      Собственные векторы для λ = 1: решаем (A − λI)v = 0
  4. 4. Ответ
    λ=11, 2, 1\lambda = 11,\ 2,\ 1

    p(λ) roots: 11, 2, 1

  5. 5. Проверка
    • Сумма собственных значений ≈ 14 равна следу 14.
    • Произведение собственных значений равно определителю 22.

Расшифровка

Задача. Вот задача: Найдите собственные значения матрицы [2 0 0; 0 3 4; 0 4 9]. Находим собственные значения и собственные векторы матрицы 3 умножить на 3.

Шаги, часть 1. Составляем характеристическое уравнение. Характеристический многочлен. Рациональные корни найдены по теореме о рациональных корнях. Собственные векторы для λ равно 11: решаем (A минус λI)v равно 0.

Шаги, часть 2. Собственные векторы для λ равно 2: решаем (A минус λI)v равно 0. Собственные векторы для λ равно 1: решаем (A минус λI)v равно 0.

Ответ. Итак, ответ: λ равно 11, 2, 1. Собственные значения — корни характеристического многочлена. Собственные векторы: λ равно 11: ⟨0, 1, 2⟩; λ равно 2: ⟨1, 0, 0⟩; λ равно 1: ⟨0, минус 2, 1⟩.

Проверка. Сумма собственных значений приблизительно 14 равна следу 14. Произведение собственных значений равно определителю 22.

Похожие уроки

Найдите собственные значения матрицы [2 0 0; 0 3 4; 0 4 9] — пошаговый видеоурок