Перейти к содержимому
MathSolver Pro
  • Открыть решатель
  • Спросить ИИ-репетитора
  • Найти курс AP
  • Создать тест
  • Открыть калькулятор
  • Графический калькулятор
  • Все калькуляторы
  • Читать руководства по математике
↑ ↓Enter — открыть · Esc — закрыть
Решить задачу
МатрицыЛинейная алгебраВуз≈ 1:01

Найдите собственные значения матрицы [4 1; 2 3]

Анимированный пошаговый урок. Нажмите «Воспроизвести», чтобы смотреть шаги с субтитрами, или прочитайте шаги и расшифровку ниже. Ответ: λ = 5, 2.

Записанное видео: голос и текст на экране на английском языке. Субтитры: Русский. Чтобы включить озвучку на этом языке, откройте интерактивную версию.

Исходная задача (на английском): Найдите собственные значения матрицы [4 1; 2 3]

Видео на английском: Скачать MP4 (0.4 MB) · Субтитры (WebVTT): Русский · Субтитры на английском (WebVTT)

Шаги на экране

  1. 1. Задача
    Разобранный пример
    Найдите собственные значения матрицы [4 1; 2 3]
  2. 2. Шаги, часть 1
    1. det⁡(λI−A)=0,A=[4123]\det(\lambda I - A) = 0,\quad A = \begin{bmatrix}4 & 1 \\ 2 & 3\end{bmatrix}
      Составляем характеристическое уравнение
    2. λ2−(7)λ+(10)=0\lambda^2 - (7)\lambda + (10) = 0
      Для матрицы 2×2 оно имеет вид λ² − (след)λ + определитель
    3. p(λ)=λ2−7λ+10p(\lambda) = \lambda^{2} - 7\lambda + 10
      Характеристический многочлен
    4. λ=2, λ=5\lambda = 2,\ \lambda = 5
      Рациональные корни найдены по теореме о рациональных корнях
  3. 3. Шаги, часть 2
    1. [−112−2] v=0⇒v=⟨1,1⟩\begin{bmatrix}-1 & 1 \\ 2 & -2\end{bmatrix}\,v = 0 \Rightarrow v = \langle 1, 1 \rangle
      Собственные векторы для λ = 5: решаем (A − λI)v = 0
    2. [2121] v=0⇒v=⟨−1,2⟩\begin{bmatrix}2 & 1 \\ 2 & 1\end{bmatrix}\,v = 0 \Rightarrow v = \langle -1, 2 \rangle
      Собственные векторы для λ = 2: решаем (A − λI)v = 0
  4. 4. Ответ
    λ=5, 2\lambda = 5,\ 2

    p(λ) roots: 5, 2

  5. 5. Проверка
    • Сумма собственных значений ≈ 7 равна следу 7.
    • Произведение собственных значений равно определителю 10.

Расшифровка

Задача. Вот задача: Найдите собственные значения матрицы [4 1; 2 3]. Находим собственные значения и собственные векторы матрицы 2 умножить на 2.

Шаги, часть 1. Составляем характеристическое уравнение. Для матрицы 2 умножить на 2 оно имеет вид λ в квадрате минус (след)λ плюс определитель. Характеристический многочлен. Рациональные корни найдены по теореме о рациональных корнях.

Шаги, часть 2. Собственные векторы для λ равно 5: решаем (A минус λI)v равно 0. Собственные векторы для λ равно 2: решаем (A минус λI)v равно 0.

Ответ. Итак, ответ: λ равно 5, 2. Собственные значения — корни характеристического многочлена. Собственные векторы: λ равно 5: ⟨1, 1⟩; λ равно 2: ⟨-1, 2⟩.

Проверка. Сумма собственных значений приблизительно 7 равна следу 7. Произведение собственных значений равно определителю 10.

Похожие уроки

Найдите собственные значения матрицы [4 1; 2 3] — пошаговый видеоурок